06)Em um sistema solar qualquer consegue-se medir o eixo menor da órbita de um planeta igual a 24 milhöes de km e a distância entre o Sol e o foco é 10 milhőes de km . Encontre a equação da elipse que descreve a órbita deste planeta e a área desta elipse.

Passo 1

A órbita do planeta é uma elipse com eixo menor medido e a distância do Sol (um dos focos) dada. O conteúdo aqui é elipse no plano com equação padrão e relação entre os parâmetros: b (semi-eixo menor), a (semi-eixo maior) e c (distância do centro ao foco), que satisfazem c^2 = a^2 - b^2.

Passo 2

Como o enunciado dá o comprimento do eixo menor 2b = 24 milhões de km, tiramos b = 12 milhões de km. E a distância do foco ao centro é c = 10 milhões de km.

Passo 3

Pela relação c^2 = a^2 - b^2 temos:

Passo 4

c^2 = a^2 - b^2 Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 = 12^2 + 10^2 = 144 + 100 = 244

Passo 5

Logo o semi-eixo maior é a = raiz244 milhões de km.

Passo 6

A equação da elipse, tomando o centro na origem e o eixo maior sobre o eixo x, é

Passo 7

x^2a^2 + y^2b^2 = 1Longrightarrow x^2244 + y^2144 = 1,

Passo 8

onde x e y estão em milhões de km.

Passo 9

Para a área da elipse usamos A = pi a b. Substituindo:

Passo 10

A = pi cdot raiz244 cdot 12 times(10^6,km)^2

Passo 11

Sabendo que raiz244 = 2raiz61, fica

Passo 12

A = pi cdot 2raiz61 cdot 12 times10^12,km^2 = 24raiz61,pitimes10^12,km^2 approx 589times10^14,km^2

Resposta

Equação da elipse (com coordenadas em milhões de km):
x^2244 + y^2144 = 1
Área da elipse:
A = 24raiz61,pitimes10^12,km^2 approx 589times10^14,km^2

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