Supondo que a superfície exterior da camada de gelo esteja a uma temperatura de -10^circ C e que a superfície inferior esteja a 0^circ C, calcule o tempo necessário para se formar uma camada de gelo com espessura de 25,0 cm.

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: a gente tem água começando a congelar, formando uma camada de gelo com espessura final de 25,0 cm. A superfície de baixo do gelo fica a 0 °C (ponto de congelamento da água) e a de cima está a –10 °C. Precisamos descobrir quanto tempo leva pra essa camada crescer até 25 cm.
Conteúdo envolvido: condução de calor no gelo e calor latente de fusão (problema de Stefan). Vamos usar a relação que vem de igualar o calor conduzido com o calor liberado pela água quando congela.

Passo 2

Teoria rápida (sem pular etapas!):
  1. Enquanto o gelo vai crescendo, o calor latente de congelamento é liberado na interface água-gelo.
  2. Esse calor precisa ser conduzido através da camada de gelo até a superfície externa, pra depois escapar pro ambiente.
  3. A taxa de calor conduzido (por unidade de área) é dada pela lei de Fourier: q = -k,dTdx
    Como a temperatura varia linearmente de 0 °C até –10 °C em uma espessura q = k,10Ll[W/m^2r], a derivada é de. Então
    q,dt = rho,Lf,dL
  4. Para congelar uma camada infinitesimal k,10L,dt = rho,Lf,dL de gelo, precisa liberar calor latente integral0^t dt = rho,Lfk,10integral0^Lrm finalL,dL
    onde t = rho,Lfk,10;(Lrm final)^22 é a densidade do gelo e t = rho,Lf,(Lrm final)^22,k,ΔT, o calor latente de fusão da água.
    5) Em um tempo , a camada cresce de , então todo esse calor deve ter sido conduzido:
  5. Substituindo :
    7) Agora separamos variáveis e integramos desde até :

    ou, de forma mais direta,

Passo 3

Agora, valores típicos para gelo:
  • k ≃ 2,2 W/(m·K)
  • ρ ≃ 917 kg/m³
  • L_f ≃ 3,34×10^5 J/kg
  • ΔT = 10 K
  • L_final = 0,250 m
Plugando na fórmula
t = (917)(3,34times10^5)(0,250)^22,(2,2),(10)
  1. Calcular t ≃ 1,91times10^744 ;rm s ;approx;4,3times10^5;rm s .
  2. Numerador ≃ .
  3. Denominador = .
  4. Logo
Convertendo pra horas e dias:
  • Em horas: .
  • Em dias: .

Resposta

O tempo necessário é cerca de s, isto é, aproximadamente 5 dias.

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