Supondo que a superfície exterior da camada de gelo esteja a uma temperatura de
e que a superfície inferior esteja a
, calcule o tempo necessário para se formar uma camada de gelo com espessura de
.
Passo 1
Beleza, o problema diz o seguinte: a gente tem água começando a congelar, formando uma camada de gelo com espessura final de 25,0 cm. A superfície de baixo do gelo fica a 0 °C (ponto de congelamento da água) e a de cima está a –10 °C. Precisamos descobrir quanto tempo leva pra essa camada crescer até 25 cm.
Conteúdo envolvido: condução de calor no gelo e calor latente de fusão (problema de Stefan). Vamos usar a relação que vem de igualar o calor conduzido com o calor liberado pela água quando congela.
Conteúdo envolvido: condução de calor no gelo e calor latente de fusão (problema de Stefan). Vamos usar a relação que vem de igualar o calor conduzido com o calor liberado pela água quando congela.
Passo 2
Teoria rápida (sem pular etapas!):
- Enquanto o gelo vai crescendo, o calor latente de congelamento é liberado na interface água-gelo.
- Esse calor precisa ser conduzido através da camada de gelo até a superfície externa, pra depois escapar pro ambiente.
- A taxa de calor conduzido (por unidade de área) é dada pela lei de Fourier:
Como a temperatura varia linearmente de 0 °C até –10 °C em uma espessura, a derivada é . Então
- Para congelar uma camada infinitesimal
de gelo, precisa liberar calor latente
ondeé a densidade do gelo e o calor latente de fusão da água.
5) Em um tempo, a camada cresce de , então todo esse calor deve ter sido conduzido:
- Substituindo
:
7) Agora separamos variáveis e integramos desdeaté :
ou, de forma mais direta,
Passo 3
Agora, valores típicos para gelo:
- k ≃ 2,2 W/(m·K)
- ρ ≃ 917 kg/m³
- L_f ≃ 3,34×10^5 J/kg
- ΔT = 10 K
- L_final = 0,250 m
Plugando na fórmula
- Calcular
. - Numerador ≃
≃ . - Denominador =
. - Logo
Convertendo pra horas e dias:
- Em horas:
. - Em dias:
.
Resposta
O tempo necessário é cerca de
s, isto é, aproximadamente 5 dias.