Um tanque cilíndrico de altura 5 m e área da base
está sendo preenchido com água a uma taxa de
. Determine a taxa de variação da altura da água no tanque em relação ao tempo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um tanque cilíndrico com altura de 5 metros e área da base de
. A água está sendo adicionada ao tanque a uma taxa de
. Queremos descobrir quão rápido a altura da água está aumentando em relação ao tempo.
Nesse problema, vamos usar conceitos de taxas relacionadas, que envolvem derivadas para relacionar como uma quantidade muda em relação a outra. Precisaremos saber como o volume da água no tanque se relaciona com a altura da água.
Passo 2
Vamos começar relacionando o volume da água no tanque com a altura da água. Como o tanque é cilíndrico, o volume
da água pode ser calculado pela fórmula:
Onde:
-
é o volume da água, -
é a área da base do cilindro, -
é a altura da água.
Passo 3
Queremos encontrar a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Aqui,
é a taxa de variação do volume da água, que já foi dada no problema como
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação para encontrar a taxa de variação da altura:
Substituindo os valores conhecidos:
Resposta
A taxa de variação da altura da água no tanque em relação ao tempo é de
.