Um tanque cilíndrico de altura 5 m e área da base 2 m^2 está sendo preenchido com água a uma taxa de 0,1 m^3 / s. Determine a taxa de variação da altura da água no tanque em relação ao tempo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um tanque cilíndrico com altura de 5 metros e área da base de 2 m^2. A água está sendo adicionada ao tanque a uma taxa de 0,1 m^3/s. Queremos descobrir quão rápido a altura da água está aumentando em relação ao tempo.
Nesse problema, vamos usar conceitos de taxas relacionadas, que envolvem derivadas para relacionar como uma quantidade muda em relação a outra. Precisaremos saber como o volume da água no tanque se relaciona com a altura da água.

Passo 2

Vamos começar relacionando o volume da água no tanque com a altura da água. Como o tanque é cilíndrico, o volume V da água pode ser calculado pela fórmula:
V = A times h
Onde:
  • V é o volume da água,
  • A é a área da base do cilindro,
  • h é a altura da água.

Passo 3

Queremos encontrar a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo, ou seja, dhdt. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo t:
dVdt = A times dhdt
Aqui, dVdt é a taxa de variação do volume da água, que já foi dada no problema como 0,1 m^3/s.

Passo 4

Agora, vamos isolar dhdt na equação para encontrar a taxa de variação da altura:
dhdt = dVdtA
Substituindo os valores conhecidos:
dhdt = 0,1 m^3/s2 m^2 = 0,05 m/s

Resposta

A taxa de variação da altura da água no tanque em relação ao tempo é de 0,05 m/s.

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