Supondo que x é representado num computador por \bar{x}, onde \bar{x} é obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de u=2 x e w=x+x. Qual das operações é mais precisa?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedido: obter limites superiores para os erros relativos ao calcular
    u = 2x
    e
    w = x + x,
    quando x é representado em máquina por \bar{x} obtido por arredondamento; e comparar qual operação é mais precisa.
  • Informação dada (modelo de arredondamento padrão): a representação por arredondamento satisfaz
    \bar{x} = \mathrm{fl}(x) = x(1+\delta),
    onde \delta é um erro relativo de arredondamento com
    |\delta|\le \varepsilon,
    e \varepsilon é o unit roundoff (unidade de arredondamento) da máquina. Além disso, a aritmética em ponto-flutuante satisfaz o modelo
    \mathrm{fl}(a\circ b)=(a\circ b)(1+\delta'),
    para qualquer operação binária \circ (soma, produto, etc.), com |\delta'|\le\varepsilon.
A partir daqui vamos usar esse modelo para obter limites superiores do erro relativo em cada caso.

Passo 2

Analisar o cálculo de \widehat{u}, a versão computada de u=2x.
  • Primeiro, escrevo a representação inicial: \bar{x}=x(1+\delta) com |\delta|\le\varepsilon.
  • Em seguida, o resultado computado ao multiplicar por 2 (aplicando o modelo de aritmética com arredondamento) é
    \widehat{u}=\mathrm{fl}(2\bar{x})=2\bar{x}(1+\delta_1),
    onde |\delta_1|\le\varepsilon descreve o arredondamento da multiplicação.
  • Substituindo \bar{x} obtemos
    \widehat{u}=2x(1+\delta)(1+\delta_1).
  • O erro relativo em relação ao valor exato u=2x é
    \frac{\widehat{u}-u}{u}=(1+\delta)(1+\delta_1)-1=\delta+\delta_1+\delta\delta_1.
  • Usando |\delta|\le\varepsilon e |\delta_1|\le\varepsilon obtemos o limite superior
    \left|\frac{\widehat{u}-u}{u}\right|\le |\delta|+|\delta_1|+|\delta||\delta_1|\le \varepsilon+\varepsilon+\varepsilon^2=2\varepsilon+\varepsilon^2.
  • Observação importante (caso prático): quando a base é \beta=2 (ponto-flutuante binário) o fator 2 é geralmente exatamente representável e a operação de multiplicar por 2 corresponde apenas a um ajuste de expoente (sem arredondamento), desde que não haja overflow/denormal. Nesse caso particular \delta_1=0 e o limite melhora para
    \left|\frac{\widehat{u}-u}{u}\right|\le |\delta|\le \varepsilon.

Passo 3

Analisar o cálculo de \widehat{w}, a versão computada de w=x+x.
  • Começo novamente com \bar{x}=x(1+\delta), |\delta|\le\varepsilon.
  • A soma computada é
    \widehat{w}=\mathrm{fl}(\bar{x}+\bar{x})=(\bar{x}+\bar{x})(1+\delta_2)=2\bar{x}(1+\delta_2),
    com |\delta_2|\le\varepsilon representando o arredondamento da adição.
  • Substituindo \bar{x} obtemos
    \widehat{w}=2x(1+\delta)(1+\delta_2).
  • O erro relativo em relação a w=2x é
    \frac{\widehat{w}-w}{w}=(1+\delta)(1+\delta_2)-1=\delta+\delta_2+\delta\delta_2.
  • Com |\delta|\le\varepsilon e |\delta_2|\le\varepsilon segue o limite
    \left|\frac{\widehat{w}-w}{w}\right|\le 2\varepsilon+\varepsilon^2.

Passo 4

Comparação e interpretação prática:
  • Se assumirmos que a multiplicação por 2 também sofre arredondamento como qualquer operação (modelo genérico), ambos os limites são iguais:
    \left|\frac{\widehat{u}-u}{u}\right|\le 2\varepsilon+\varepsilon^2, \qquad \left|\frac{\widehat{w}-w}{w}\right|\le 2\varepsilon+\varepsilon^2.
    Nesse caso, teoricamente, têm o mesmo limite superior.
  • Porém, no caso prático muito comum (ponto-flutuante binário), multiplicar por 2 é normalmente exata (ajuste de expoente) e não introduz erro adicional. Então para u=2x o erro relativo fica limitado por
    \left|\frac{\widehat{u}-u}{u}\right|\le \varepsilon,
    enquanto para w=x+x continua valendo
    \left|\frac{\widehat{w}-w}{w}\right|\le 2\varepsilon+\varepsilon^2.
    Assim, na prática a operação u=2x é mais precisa que w=x+x.
  • Intuição final: somar duas cópias de \bar{x} gera uma operação aritmética adicional sujeita a arredondamento; multiplicar por 2 pode (e em binário normalmente) não gerar esse arredondamento extra, por isso é preferível em precisão.

Resposta

\left|\dfrac{\widehat{u}-u}{u}\right|\le 2\varepsilon+\varepsilon^2 (em geral); se multiplicar por 2 for exata então \left|\dfrac{\widehat{u}-u}{u}\right|\le \varepsilon.\newline
\left|\dfrac{\widehat{w}-w}{w}\right|\le 2\varepsilon+\varepsilon^2.\newline
Em prática (ponto-flutuante binário) u=2x é mais preciso que w=x+x.

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