Supondo que x é representado num computador por \bar{x}, onde \bar{x} é obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de u=2 x e w=x+x. Qual das operações é mais precisa?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pedido: obter limites superiores para os erros relativos ao calcular
u = 2x
e
w = x + x,
quando x é representado em máquina por \bar{x} obtido por arredondamento; e comparar qual operação é mais precisa.
Informação dada (modelo de arredondamento padrão): a representação por arredondamento satisfaz
\bar{x} = \mathrm{fl}(x) = x(1+\delta),
onde \delta é um erro relativo de arredondamento com
|\delta|\le \varepsilon,
e \varepsilon é o unit roundoff (unidade de arredondamento) da máquina. Além disso, a aritmética em ponto-flutuante satisfaz o modelo
\mathrm{fl}(a\circ b)=(a\circ b)(1+\delta'),
para qualquer operação binária \circ (soma, produto, etc.), com |\delta'|\le\varepsilon.
A partir daqui vamos usar esse modelo para obter limites superiores do erro relativo em cada caso.
Passo 2
Analisar o cálculo de \widehat{u}, a versão computada de u=2x.
Primeiro, escrevo a representação inicial: \bar{x}=x(1+\delta) com |\delta|\le\varepsilon.
Em seguida, o resultado computado ao multiplicar por 2 (aplicando o modelo de aritmética com arredondamento) é
Observação importante (caso prático): quando a base é \beta=2 (ponto-flutuante binário) o fator 2 é geralmente exatamente representável e a operação de multiplicar por 2 corresponde apenas a um ajuste de expoente (sem arredondamento), desde que não haja overflow/denormal. Nesse caso particular \delta_1=0 e o limite melhora para
Nesse caso, teoricamente, têm o mesmo limite superior.
Porém, no caso prático muito comum (ponto-flutuante binário), multiplicar por 2 é normalmente exata (ajuste de expoente) e não introduz erro adicional. Então para u=2x o erro relativo fica limitado por
Assim, na prática a operação u=2x é mais precisa que w=x+x.
Intuição final: somar duas cópias de \bar{x} gera uma operação aritmética adicional sujeita a arredondamento; multiplicar por 2 pode (e em binário normalmente) não gerar esse arredondamento extra, por isso é preferível em precisão.
Resposta
\left|\dfrac{\widehat{u}-u}{u}\right|\le 2\varepsilon+\varepsilon^2 (em geral); se multiplicar por 2 for exata então \left|\dfrac{\widehat{u}-u}{u}\right|\le \varepsilon.\newline \left|\dfrac{\widehat{w}-w}{w}\right|\le 2\varepsilon+\varepsilon^2.\newline
Em prática (ponto-flutuante binário) u=2x é mais preciso que w=x+x.