Considere uma máquina decimal com precisão t=3 dígitos e arredondamento.
Arredonde os números abaixo e determine os erros absoluto e relativo:
(b) 0,009876

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dado: máquina decimal com precisão t=3 dígitos e modo de arredondamento.
  • Número a aproximar: 0,009876.
  • Pedidos: (i) arredondar o número para a precisão especificada; (ii) calcular o erro absoluto; (iii) calcular o erro relativo.

Passo 2

Conceitos e regra de arredondamento (explicação didática):
  • “Precisão t=3 dígitos” significa que a representação na máquina deve manter apenas os três primeiros algarismos significativos (ou seja, os três primeiros dígitos diferentes de zero a partir do primeiro algarismo não nulo).
  • Regra de arredondamento (padrão): para reduzir para t algarismos significativos, observa-se o (t+1)-ésimo algarismo significativo:
    • se esse algarismo for maior ou igual a 5, incrementa-se o t-ésimo algarismo em 1 (arredonda para cima);
    • se for menor que 5, mantém-se o t-ésimo algarismo (arredonda para baixo).
  • Fórmulas de erro que usaremos: \text{erro absoluto} = |\tilde{x}-x|, \qquad \text{erro relativo} = \frac{|\tilde{x}-x|}{|x|},onde x é o valor verdadeiro ( 0,009876) e \tilde{x} é o valor arredondado.

Passo 3

Identificar os algarismos significativos do número transformando em notação científica (para visualizar os algarismos facilmente):
0,009876 = 9,876\times10^{-3}.
Aqui os algarismos significativos na sequência são 9, 8, 7, 6, …
Como queremos t=3 algarismos significativos, os três primeiros são 9, 8 e 7. O quarto algarismo significativo (que decide o arredondamento) é 6.

Passo 4

Aplicar a regra de arredondamento:
  • O quarto algarismo significativo é 6, que é \ge 5, portanto devemos aumentar o terceiro algarismo significativo em 1.
  • Os três primeiros algarismos 9,8,7 passam a 9,8,8.
  • Assim a mantissa arredondada em notação científica fica 9,88\times10^{-3}.
  • Voltando à forma decimal comum, o número arredondado é
\tilde{x} = 0,00988.

Passo 5

Calcular o erro absoluto:
\text{erro absoluto} = |\tilde{x}-x| = |0,00988 - 0,009876| = 0,000004 = 4\times10^{-6}.

Passo 6

Calcular o erro relativo mostrando os passos sem calculadora:
\text{erro relativo} = \frac{4\times10^{-6}}{0,009876}.
Escrevendo 0,009876 = 9,876\times10^{-3} temos
\frac{4\times10^{-6}}{9,876\times10^{-3}} = \frac{4}{9,876}\times10^{-3}.
Agora uma aproximação numérica de \dfrac{4}{9,876}: como 9,876 é próximo de 10, \dfrac{4}{9,876}\approx0,405021\ldots. Multiplicando por 10^{-3} obtém-se
\text{erro relativo} \approx 0,000405021\ldots
Arredondando a uma precisão razoável, podemos apresentar
\text{erro relativo} \approx 0,0004050 \quad(\text{aprox. }4{,}05\times10^{-4}).

Passo 7

Resumo (motivação pedagógica rápida): o procedimento consiste em identificar os primeiro três dígitos significativos, usar o quarto para decidir arredondamento, subtrair para obter erro absoluto e dividir pelo valor original para obter erro relativo. Dá para aplicar isso a qualquer número sem calculadora usando notação científica para simplificar as potências de dez.

Resposta

\tilde{x}=0,00988
\text{erro absoluto}=4\times10^{-6}
\text{erro relativo}\approx4,05021\times10^{-4}

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