Suponha que uma eleição contenha 350 eleitores, dos quais 250 votam no candidato A e 100 no candidato B. Se 30 eleitores são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade que exatamente 18 eleitores escolham o candidato A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre probabilidade em uma eleição com 350 votantes, onde 250 votam no candidato A e 100 no candidato B. Queremos saber a chance de, ao escolhermos 30 eleitores aleatoriamente, exatamente 18 deles votarem no candidato A. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória e a distribuição hipergeométrica, que ajuda quando a gente está lidando com amostras sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os números que temos:
  • Total de eleitores (N): 350
  • Eleitores que votam no candidato A (K): 250
  • Eleitores que votam no candidato B: 100 (mas vamos focar no A)
  • Número de eleitores escolhidos (n): 30
  • Queremos que exatamente 18 desses escolhidos votem no A (k): 18

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distribuição hipergeométrica para calcular essa probabilidade. A fórmula é:
P(X = k) = dbinomKk cdot dbinomN - Kn - kdbinomNn
Onde:
  • dbinomKk é o número de maneiras de escolher 18 eleitores que votam no A.
  • dbinomN - Kn - k é o número de maneiras de escolher os outros 12 eleitores que não votam no A.
  • dbinomNn é o número total de maneiras de escolher 30 eleitores de um total de 350.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Número de maneiras de escolher 18 votantes do A:
    dbinom25018
  2. Número de maneiras de escolher os outros 12 votantes que não votam no A:
    dbinom10012
  3. Número total de maneiras de escolher 30 votantes:
    dbinom35030

Passo 5

Agora, colocando tudo na fórmula:
P(X = 18) = dbinom25018 cdot dbinom10012dbinom35030
Esse valor dará a probabilidade desejada de exatamente 18 dos 30 eleitores escolhidos votarem no candidato A. Para obter um número exato, você pode usar uma calculadora científica ou um software de matemática que suporte cálculos de combinações grandes.

Resposta

A probabilidade de exatamente 18 dos 30 eleitores escolhidos votarem no candidato A é:
P(X = 18) = dbinom25018 cdot dbinom10012dbinom35030

Exercícios relacionados