Suponha que 150 erros de impressão são distribuídos aleatoriamente em um livro de 200 páginas. Encontre a probabilidade de que duas páginas contenham três erros de impressão.
Passo 1
O enunciado diz que temos
erros de impressão distribuídos aleatoriamente e com igual probabilidade em
páginas. O que se quer é a probabilidade de que exatamente duas páginas contenham três erros cada. Vamos modelar isso como um problema de “ocupação” de bolas em caixas, usando a aproximação de Poisson para o número de erros por página e depois interpretando o número de páginas com exatamente três erros como uma variável binomial.
Passo 2
Quando temos muitas bolas (
grande) e muitas caixas (
grande) com probabilidade igual
para cada bola cair em cada caixa, o número de bolas em uma caixa típica pode ser aproximado por uma distribuição de Poisson com parâmetro
No nosso caso,
Passo 3
Pela aproximação de Poisson, a probabilidade de uma página ter exatamente
erros é
Passo 4
Supondo que as páginas sejam “independentes” sob esta aproximação, o número
de páginas (entre as 200) que têm exatamente 3 erros segue aproximadamente
Então a probabilidade de exatamente duas páginas terem 3 erros é
Passo 5
Vamos agora calcular numericamente
e depois
.
Logo,
Calculando:
portanto