(0,3) Suponha que 150 erros de impressão são distribuídos aleatoriamente em um livro de 200 páginas. Encontre a probabilidade de que duas páginas contenham três erros de impressão.

Passo 1

O enunciado diz que temos n=150 erros de impressão distribuídos aleatoriamente e com igual probabilidade em m=200 páginas. O que se quer é a probabilidade de que exatamente duas páginas contenham três erros cada. Vamos modelar isso como um problema de “ocupação” de bolas em caixas, usando a aproximação de Poisson para o número de erros por página e depois interpretando o número de páginas com exatamente três erros como uma variável binomial.

Passo 2

Quando temos muitas bolas ( n grande) e muitas caixas ( m grande) com probabilidade igual \tfrac1m para cada bola cair em cada caixa, o número de bolas em uma caixa típica pode ser aproximado por uma distribuição de Poisson com parâmetro
\lambda = \frac{n}{m}.
No nosso caso,
\lambda = \frac{150}{200} = 0{,}75.

Passo 3

Pela aproximação de Poisson, a probabilidade de uma página ter exatamente 3 erros é
p_3 = \Pr(X=3) = e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^3}{3!} = e^{-0{,}75}\,\frac{(0{,}75)^3}{6}.

Passo 4

Supondo que as páginas sejam “independentes” sob esta aproximação, o número Y de páginas (entre as 200) que têm exatamente 3 erros segue aproximadamente
Y \sim \mathrm{Binomial}\bigl(200,\,p_3\bigr).
Então a probabilidade de exatamente duas páginas terem 3 erros é
\Pr(Y=2) = \binom{200}{2}\,p_3^2\,(1 - p_3)^{198}.

Passo 5

Vamos agora calcular numericamente p_3 e depois \Pr(Y=2).
p_3 = e^{-0{,}75}\,\frac{(0{,}75)^3}{6} \approx 0{,}4723666 \times \frac{0{,}421875}{6} \approx 0{,}0332.
Logo,
\Pr(Y=2) \approx \binom{200}{2}\,(0{,}0332)^2\,(1-0{,}0332)^{198}.
Calculando:
\binom{200}{2}=19\,900, \quad (0{,}0332)^2\approx0{,}001102, \quad (0{,}9668)^{198}\approx0{,}00123,
portanto
\Pr(Y=2)\approx 19\,900 \times 0{,}001102 \times 0{,}00123 \approx 0{,}027\approx2{,}7\%.

Resposta

\Pr(\text{exatamente 2 páginas têm 3 erros}) \approx \binom{200}{2}\,\bigl(e^{-0,75}\tfrac{0,75^3}{3!}\bigr)^{2}\, \bigl(1 - e^{-0,75}\tfrac{0,75^3}{3!}\bigr)^{198} \approx0{,}027.áê

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