Um par de dados é rolado 10 vezes e observa-se quantas vezes foi obtido o valor 7 para a soma dos valores obtidos. Qual modelo de probabilidade você usaria para estudar a distribuição dos resultados desse experimento? Quantas vezes você espera, em média, obter o valor 7? Qual a probabilidade do valor 7 aparecer exatamente pelo menos 3 vezes?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Experimento: jogar um par de dados (dois dados) repetidamente, e repetir isso 10 vezes independentes.
  • Em cada jogada contamos se a soma dos dois dados é igual a 7 (sucesso) ou não (falha).
  • Perguntas:
    1. Qual modelo de probabilidade usar para estudar a distribuição do número de vezes em que aparece a soma 7?
    2. Quantas vezes, em média, esperamos obter a soma 7 nas 10 jogadas?
    3. Qual a probabilidade de a soma 7 aparecer “pelo menos 3 vezes” nas 10 jogadas?
  • Informações relevantes extraídas do enunciado: número de ensaios n=10; cada ensaio resulta em “sucesso” (soma 7) ou “não sucesso”; os ensaios são assumidos independentes e com mesma probabilidade de sucesso em cada jogada.

Passo 2

Escolhendo o modelo de probabilidade (explicação didática e porquê).
  • Por que o modelo binomial é apropriado? As condições do modelo binomial são:
    1. Número fixo de ensaios n (aqui n=10).
    2. Cada ensaio tem apenas dois resultados relevantes: “sucesso” (soma 7) ou “falha” (não 7).
    3. Ensaios independentes (uma jogada não altera o resultado da outra).
    4. Probabilidade de sucesso p constante em cada ensaio.
  • Nosso experimento satisfaz essas quatro condições, então usamos a distribuição binomial.
  • Agora precisamos da probabilidade de sucesso em um único ensaio, isto é p=\Pr(\text{soma}=7).
    • Num par de dados honestos, o espaço amostral de uma jogada tem 6\times6=36 resultados igualmente prováveis.
    • Os pares que dão soma 7 são (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1): são 6 casos favoráveis.
    • Portanto
    p=\Pr(\text{soma}=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.
  • Conclusão: se X é o número de vezes que sai soma 7 em 10 jogadas, então X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=10,\;p=\tfrac{1}{6}\bigr).

Passo 3

Esperança (média) da distribuição binomial — explicação da fórmula e aplicação.
  • Para uma variável binomial X\sim\mathrm{Bin}(n,p) existe uma fórmula simples para a média (valor esperado): \mathbb{E}[X]=n\cdot p.Explicação: intuitivamente, em cada ensaio a contribuição média de “sucesso” é p; somando n ensaios temos n\cdot p.
  • Aplicando ao nosso caso: \mathbb{E}[X]=10\cdot \frac{1}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.
  • Em valor decimal aproximado (útil na prova para interpretar): \frac{5}{3}\approx 1,6667.
  • Interpretação prática: em média esperamos ver a soma 7 cerca de 1{,}67 vezes em 10 jogadas.

Passo 4

Cálculo da probabilidade de a soma 7 aparecer pelo menos 3 vezes: método e contas passo a passo.
  • Queremos \Pr(X\ge 3) quando X\sim\mathrm{Bin}(10,\tfrac{1}{6}).
  • Estratégia prática (mais simples que somar diretamente de k=3 até 10): usar o complementar \Pr(X\ge 3)=1-\Pr(X\le 2)=1-\bigl(\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2)\bigr).
  • Fórmula geral da probabilidade binomial: \Pr(X=k)=\binom{10}{k}\,p^{k}(1-p)^{10-k},onde \binom{10}{k} é o número de maneiras de escolher os k sucessos entre 10 ensaios.
  • Calculemos \Pr(X=0),\Pr(X=1),\Pr(X=2) com p=\tfrac{1}{6} e 1-p=\tfrac{5}{6}.
    • Para k=0: \Pr(X=0)=\binom{10}{0}\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{0}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{10}=\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{10}.
    • Para k=1: \Pr(X=1)=\binom{10}{1}\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{1}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{9}=10\cdot \tfrac{1}{6}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{9}.
    • Para k=2: \Pr(X=2)=\binom{10}{2}\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{2}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{8}=45\cdot \Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{2}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{8}.
  • Somando e fatorando \bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^{8} para simplificar: \begin{aligned} \Pr(X\le 2) &=\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{10}+10\cdot \tfrac{1}{6}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{9}+45\cdot \Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{2}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{8}\\[4pt] &=\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{8}\!\left[\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{2}+10\cdot \tfrac{1}{6}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)+45\cdot \Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{2}\right]. \end{aligned}
  • Calculemos o colchete (tudo em frações): \Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{2}=\tfrac{25}{36},\qquad 10\cdot \tfrac{1}{6}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)=\tfrac{50}{36},\qquad 45\cdot \Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{2}=\tfrac{45}{36}.Somando: \tfrac{25}{36}+\tfrac{50}{36}+\tfrac{45}{36}=\tfrac{120}{36}=\tfrac{10}{3}.
  • Logo \Pr(X\le 2)=\tfrac{10}{3}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{8}.
  • Portanto \Pr(X\ge 3)=1-\tfrac{10}{3}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{8}.Esta é uma expressão exata e bem compacta para a probabilidade pedida.
  • Se quisermos um valor numérico aproximado, calculando \bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^{8}=\dfrac{5^{8}}{6^{8}}=\dfrac{390625}{1679616} e fazendo a conta obtemos a forma racional \Pr(X\ge 3)=\frac{566299}{2519424}\approx 0{,}2247.(Arredondado com 4 casas decimais; você pode dar a resposta com menos ou mais casas conforme a necessidade da prova.)]

Resposta

Distribuição: X\sim\mathrm{Bin}\bigl(10,\tfrac{1}{6}\bigr)
Esperança: \mathbb{E}[X]=\dfrac{5}{3}\approx 1{,}6667
\Pr(X\ge 3)=1-\dfrac{10}{3}\Bigl(\dfrac{5}{6}\Bigr)^{8}=\dfrac{566299}{2519424}\approx 0{,}2247

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