Um par de dados é rolado 10 vezes e observa-se quantas vezes foi obtido o valor 7 para a soma dos valores obtidos. Qual modelo de probabilidade você usaria para estudar a distribuição dos resultados desse experimento? Quantas vezes você espera, em média, obter o valor 7? Qual a probabilidade do valor 7 aparecer exatamente pelo menos 3 vezes?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- Experimento: jogar um par de dados (dois dados) repetidamente, e repetir isso
vezes independentes. - Em cada jogada contamos se a soma dos dois dados é igual a
(sucesso) ou não (falha). - Perguntas:
- Qual modelo de probabilidade usar para estudar a distribuição do número de vezes em que aparece a soma
? - Quantas vezes, em média, esperamos obter a soma
nas jogadas? - Qual a probabilidade de a soma
aparecer “pelo menos vezes” nas jogadas?
- Qual modelo de probabilidade usar para estudar a distribuição do número de vezes em que aparece a soma
- Informações relevantes extraídas do enunciado: número de ensaios
; cada ensaio resulta em “sucesso” (soma ) ou “não sucesso”; os ensaios são assumidos independentes e com mesma probabilidade de sucesso em cada jogada.
Passo 2
Escolhendo o modelo de probabilidade (explicação didática e porquê).
- Por que o modelo binomial é apropriado? As condições do modelo binomial são:
- Número fixo de ensaios
(aqui ). - Cada ensaio tem apenas dois resultados relevantes: “sucesso” (soma
) ou “falha” (não ). - Ensaios independentes (uma jogada não altera o resultado da outra).
- Probabilidade de sucesso
constante em cada ensaio.
- Número fixo de ensaios
- Nosso experimento satisfaz essas quatro condições, então usamos a distribuição binomial.
- Agora precisamos da probabilidade de sucesso em um único ensaio, isto é
. - Num par de dados honestos, o espaço amostral de uma jogada tem
resultados igualmente prováveis. - Os pares que dão soma
são : são casos favoráveis. - Portanto
- Num par de dados honestos, o espaço amostral de uma jogada tem
- Conclusão: se
é o número de vezes que sai soma em jogadas, então
Passo 3
Esperança (média) da distribuição binomial — explicação da fórmula e aplicação.
- Para uma variável binomial
existe uma fórmula simples para a média (valor esperado): Explicação: intuitivamente, em cada ensaio a contribuição média de “sucesso” é ; somando ensaios temos . - Aplicando ao nosso caso:
- Em valor decimal aproximado (útil na prova para interpretar):
. - Interpretação prática: em média esperamos ver a soma
cerca de vezes em jogadas.
Passo 4
Cálculo da probabilidade de a soma
aparecer pelo menos
vezes: método e contas passo a passo.
- Queremos
quando . - Estratégia prática (mais simples que somar diretamente de
até ): usar o complementar - Fórmula geral da probabilidade binomial:
onde é o número de maneiras de escolher os sucessos entre ensaios. - Calculemos
com e . - Para
: - Para
: - Para
:
- Para
- Somando e fatorando
para simplificar: - Calculemos o colchete (tudo em frações):
Somando: - Logo
- Portanto
Esta é uma expressão exata e bem compacta para a probabilidade pedida. - Se quisermos um valor numérico aproximado, calculando
e fazendo a conta obtemos a forma racional (Arredondado com 4 casas decimais; você pode dar a resposta com menos ou mais casas conforme a necessidade da prova.)]
Resposta
Distribuição:
Esperança:
Esperança: