Um teste de múltipla escolha contem 20 questões. Cada questão possui cinco alternativas e apenas uma é correta. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhendo respostas ao acaso (“chutando”), acerte 14 das 20 questões? Qual a nota esperada desse aluno?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações:
  • 20 questões.
  • Cada questão tem 5 alternativas, apenas 1 correta. Logo a probabilidade de acertar chutando uma questão é p=\tfrac{1}{5}=0,2.
  • As escolhas são independentes (chutes em questões diferentes não interferem).
    Perguntas:
  1. Qual a probabilidade de o aluno acertar exatamente 14 das 20 questões?
  2. Qual a nota esperada (esperança matemática) desse aluno, supondo 1 ponto por acerto?

Passo 2

Modelagem probabilística e fórmula que vamos usar.
Cada questão é um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso p=0,2. Se X é o número de acertos em n=20 questões, então X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p. A probabilidade de obter exatamente k sucessos é dada pela fórmula binomial:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k questões serão as corretas entre as n), p^{k} é a probabilidade de ter sucessos nessas k escolhidas e (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de falhar nas restantes.

Passo 3

Aplicando a fórmula para n=20, k=14, p=0,2:
P(X=14)=\binom{20}{14}\,(0,2)^{14}\,(0,8)^{6}.
Explico o coeficiente \binom{20}{14}. Como \binom{20}{14}=\binom{20}{6}, calculamos
\binom{20}{6}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora faço as contas passo a passo:
  • Numerador: 20\cdot19=380; 380\cdot18=6840; 6840\cdot17=116280; 116280\cdot16=1\,860\,480; 1\,860\,480\cdot15=27\,907\,200.
  • Denominador: 6!=720.
    Portanto
\binom{20}{14}=\frac{27\,907\,200}{720}=38\,760.

Passo 4

Calculo das potências. Primeiro (0,2)^{14}. Como 0,2=\tfrac{1}{5},
(0,2)^{14}=\left(\tfrac{1}{5}\right)^{14}=\frac{1}{5^{14}}.
Calculo de 5^{14} por potências sucessivas:
5^{4}=625,\quad 5^{6}=15\,625,\quad 5^{8}=390\,625,\quad 5^{10}=9\,765\,625,
5^{12}=244\,140\,625,\quad 5^{13}=1\,220\,703\,125,\quad 5^{14}=6\,103\,515\,625.
Logo (0,2)^{14}=\dfrac{1}{6\,103\,515\,625}\approx 1,637\cdot10^{-10}.
Agora (0,8)^{6}. Faço potências:
0,8^{2}=0,64,\quad 0,8^{3}=0,512,\quad 0,8^{4}=0,4096,
0,8^{5}=0,32768,\quad 0,8^{6}=0,262144.

Passo 5

Agora multiplico os fatores para obter P(X=14). Primeiro multiplico o coeficiente pelo (0,8)^{6}:
38\,760\cdot 0,262144 = 10\,160,70144.
Então
P(X=14)=\frac{10\,160,70144}{5^{14}}=\frac{10\,160,70144}{6\,103\,515\,625}.
Faço a divisão aproximada:
P(X=14)\approx 1,666\times10^{-6}.
Em porcentagem isso é cerca de 0,0001666\% — ou seja, extremamente pequeno: a chance de acertar 14 de 20 chutando é praticamente nula.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem de ordens de grandeza. Faz sentido que a probabilidade seja muito pequena porque acertar 14 implica muito mais acertos do que a média esperada (a média será mostrada no próximo passo), e com p=0,2 o desvio padrão típico é bem menor que a diferença entre 14 e a média, então essa ocorrência é rara.

Passo 7

Cálculo da nota esperada. Se X é o número de acertos em n=20 ensaios de Bernoulli com probabilidade p, a esperança (valor esperado) de X é
\mathbb{E}[X]=n\cdot p.
Explicação curta do porquê (didática): escrevemos X como soma de indicadores X=I_1+I_2+\dots+I_{20}, onde I_j=1 se a j-ésima questão foi acertada e 0 caso contrário. Para cada indicador \mathbb{E}[I_j]=p. Pela linearidade da esperança,
\mathbb{E}[X]=\sum_{j=1}^{20}\mathbb{E}[I_j]=20\cdot p.
Com p=0,2,
\mathbb{E}[X]=20\cdot0,2=4.
Ou seja, chutando, em média o aluno acerta 4 questões (nota esperada 4 pontos, se 1 ponto por questão).

Resposta

\displaystyle P(X=14)=38\,760\cdot(0,2)^{14}\cdot(0,8)^{6}\approx1,666\times10^{-6}
\displaystyle \mathbb{E}[X]=4

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