Um teste de múltipla escolha contem 20 questões. Cada questão possui cinco alternativas e apenas uma é correta. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhendo respostas ao acaso (“chutando”), acerte 14 das 20 questões? Qual a nota esperada desse aluno?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações:
- Há
questões. - Cada questão tem
alternativas, apenas correta. Logo a probabilidade de acertar chutando uma questão é . - As escolhas são independentes (chutes em questões diferentes não interferem).
Perguntas:
- Qual a probabilidade de o aluno acertar exatamente
das questões? - Qual a nota esperada (esperança matemática) desse aluno, supondo 1 ponto por acerto?
Passo 2
Modelagem probabilística e fórmula que vamos usar.
Cada questão é um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso . Se
é o número de acertos em
questões, então
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. A probabilidade de obter exatamente
sucessos é dada pela fórmula binomial:
Cada questão é um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso
Aqui
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais
questões serão as corretas entre as
),
é a probabilidade de ter sucessos nessas
escolhidas e
é a probabilidade de falhar nas restantes.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
,
,
:
Explico o coeficiente
. Como
, calculamos
Agora faço as contas passo a passo:
- Numerador:
; ; ; ; . - Denominador:
.
Portanto
Passo 4
Calculo das potências. Primeiro
. Como
,
Calculo de
por potências sucessivas:
Logo
Agora
. Faço potências:
Passo 5
Agora multiplico os fatores para obter
. Primeiro multiplico o coeficiente pelo
:
Então
Faço a divisão aproximada:
Em porcentagem isso é cerca de
— ou seja, extremamente pequeno: a chance de acertar
de
chutando é praticamente nula.
Passo 6
Interpretação rápida e checagem de ordens de grandeza. Faz sentido que a probabilidade seja muito pequena porque acertar
implica muito mais acertos do que a média esperada (a média será mostrada no próximo passo), e com
o desvio padrão típico é bem menor que a diferença entre
e a média, então essa ocorrência é rara.
Passo 7
Cálculo da nota esperada. Se
é o número de acertos em
ensaios de Bernoulli com probabilidade
, a esperança (valor esperado) de
é
Explicação curta do porquê (didática): escrevemos
como soma de indicadores
, onde
se a
-ésima questão foi acertada e
caso contrário. Para cada indicador
. Pela linearidade da esperança,
Com
,
Ou seja, chutando, em média o aluno acerta
questões (nota esperada
pontos, se 1 ponto por questão).