Suponha que alguém descubra que objetos azuis e amarelos se atraem, que dois objetos azuis se repelem, e que dois objetos amarelos se repelem. A intensidade dessa “interação cromática” depende da profundidade da cor: quanto mais intensa a cor, maior a magnitude da interação Como você definiria a magnitude e a direção do “campo cromático” de um objeto?

Passo 1

O enunciado diz que existem duas “cargas cromáticas”: objetos azuis que se repelem entre si, objetos amarelos que se repelem entre si, e azul com amarelo que se atraem. A força depende da “profundidade da cor” (intensidade) e decai com a distância. Isso é análogo à eletrostática, então vamos usar a ideia de “carga cromática” e de “campo gerado por uma carga”.

Passo 2

Definimos para cada objeto um valor escalar q\) (a “carga cromática”) tal que \[q = \begin{cases} +\,I, & \text{se for azul,}\\\\ -\,I, & \text{se for amarelo,} \end{cases}
onde I>0\] é a intensidade (profundidade) da cor. Assim, duas cargas de mesmo sinal \(+\!+ ou -\!- se repelem, e cargas de sinais opostos +\!- se atraem.

Passo 3

Pela analogia com a lei de Coulomb, a força entre duas cargas cromáticas q_1 e q_2 separadas por uma distância r vale
\mathbf{F} = k\,\frac{q_1\,q_2}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}_{1\to2},
onde
k é uma constante de proporcionalidade cromática,
\hat{\mathbf{r}}_{1\to2} é o versor que aponta do objeto 1 para o objeto 2.

Passo 4

O campo cromático \mathbf{E} gerado por uma única carga q num ponto a distância r é definido como a força sobre uma carga de teste unitária q_0=1. Assim
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde
– a magnitude é
\bigl\lVert \mathbf{E}(\mathbf{r})\bigr\rVert = k\,\frac{\lvert q\rvert}{r^2},
– a direção é radial: se q>0 (azul) \mathbf{E} aponta para fora (repulsão de cargas iguais) e, se q<0 (amarelo), aponta para dentro do objeto (de modo a atrair cargas positivas).

Resposta

O campo cromático de um objeto com “carga” q e intensidade I=\lvert q\rvert a uma distância r é
\boxed{ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}, }
com magnitude \displaystyle k\,\frac{\lvert q\rvert}{r^2} e direção radial (para fora se q>0, para dentro se q<0).

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