Suponha
e
ciclos disjuntos de
, digamos
e
com
, para todo
e
.
Calcule
e
, prara todo
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular duas composições de ciclos disjuntos no grupo das permutações
. Temos dois ciclos:
Esses ciclos são disjuntos, ou seja, nenhum elemento de
está em
e vice-versa (
para todo
e
). Nosso objetivo é calcular:
Para todo
.
Vamos precisar entender como funciona a composição de permutações e como os ciclos disjuntos interagem entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de duas permutações. Se temos
e
em
, então
. Ou seja, aplicamos primeiro
e depois
no resultado.
Passo 3
Agora, como os ciclos
e
são disjuntos, isso significa que eles não têm elementos em comum. Por exemplo, se aplicarmos
a um elemento
, ele vai mapear para o próximo elemento no ciclo
. Como
não afeta nenhum elemento de
, aplicar
depois de
(ou vice-versa) não interfere nos elementos de
.
Passo 4
Vamos calcular
:
- Primeiro, aplicamos
em : (ou se , porque o ciclo volta ao início). - Em seguida, aplicamos
no resultado . Mas como não afeta nenhum , temos .
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
- Primeiro, aplicamos
em . Mas como não afeta nenhum , temos . - Em seguida, aplicamos
no resultado : (ou se ).
Então,
.
Resposta
Para todo
: