Suponha alpha e beta ciclos disjuntos de Sn, digamos alpha=(a1 a2 a3 ldots as) e beta=(b1 b2 b3 ldots bt) com ai neq bj, para todo i e j.
Calcule (alpha circ beta)(bk) e (beta circ alpha)(bk), prara todo 1 <= k <= t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular duas composições de ciclos disjuntos no grupo das permutações . Temos dois ciclos:
Esses ciclos são disjuntos, ou seja, nenhum elemento de está em e vice-versa ( para todo e ). Nosso objetivo é calcular:
Para todo .
Vamos precisar entender como funciona a composição de permutações e como os ciclos disjuntos interagem entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de duas permutações. Se temos e em , então . Ou seja, aplicamos primeiro e depois no resultado.

Passo 3

Agora, como os ciclos e são disjuntos, isso significa que eles não têm elementos em comum. Por exemplo, se aplicarmos a um elemento , ele vai mapear para o próximo elemento no ciclo . Como não afeta nenhum elemento de , aplicar depois de (ou vice-versa) não interfere nos elementos de .

Passo 4

Vamos calcular :
  1. Primeiro, aplicamos em : (ou se , porque o ciclo volta ao início).
  2. Em seguida, aplicamos no resultado . Mas como não afeta nenhum , temos .
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular :
  1. Primeiro, aplicamos em . Mas como não afeta nenhum , temos .
  2. Em seguida, aplicamos no resultado : (ou se ).
Então, .

Resposta

Para todo (alpha circ beta)(bk) = bk+1 :
(beta circ alpha)(bk) = bk+1

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