Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores em \mathbb{R}^{3} com |\vec{u}|=3,|\vec{v}|=4$ e e .
(b) Determine o volume de um paralelepípedo de arestas \vec{u}, \vec{v} e \vec{u} \times \vec{v}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , no espaço tridimensional ( ). Sabemos que o comprimento de é 3, o de é 4, e o ângulo entre eles é . A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo formado pelas arestas , e o produto vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de produtos vetoriais e o cálculo de volume de paralelepipedos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial |u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e seu módulo (comprimento) é dado pela fórmula:
onde é o ângulo entre e .

Passo 3

Vamos calcular o módulo de |u times v| = 3 cdot 4 cdot sin(120^circ) usando os valores fornecidos:
|u times v| = 3 cdot 4 cdot raiz32 = 6raiz3
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o volume do paralelepípedo formado por V = |a cdot (b times c)| , e . O volume de um paralelepípedo formado por três vetores é dado pelo valor absoluto do produto triplo:
No nosso caso, , , e .

Passo 5

Vamos calcular o produto triplo v times (u times v) = u (v cdot v) - v (u cdot v) . Mas antes, vamos simplificar isso usando uma identidade vetorial conhecida:
u cdot (v times (u times v)) = u cdot [u (|v|^2) - v (u cdot v)]
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente. Sabemos que:
|v|^2 = 4^2 = 16
E:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) = 3 cdot 4 cdot cos(120^circ) = 12 cdot (-0.5) = -6
Agora substituindo:
u cdot [u cdot 16 - v cdot (-6)] = u cdot [16u + 6v]
= 16 (u cdot u) + 6 (u cdot v) = 16 (9) + 6 (-6) = 144 - 36 = 108

Passo 7

Então, o volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse resultado:
V = |108| = 108

Resposta

O volume do paralelepípedo é unidades cúbicas.

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