Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores em \mathbb{R}^{3} com |\vec{u}|=3,|\vec{v}|=4$ e
.
(b) Determine o volume de um paralelepípedo de arestas \vec{u}, \vec{v} e \vec{u} \times \vec{v}.
(b) Determine o volume de um paralelepípedo de arestas \vec{u}, \vec{v} e \vec{u} \times \vec{v}.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores,
e
, no espaço tridimensional (
). Sabemos que o comprimento de
é 3, o de
é 4, e o ângulo entre eles é
. A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo formado pelas arestas
,
e o produto vetorial
. Para isso, vamos usar conceitos de produtos vetoriais e o cálculo de volume de paralelepipedos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial
. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e seu módulo (comprimento) é dado pela fórmula:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Vamos calcular o módulo de
usando os valores fornecidos:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o volume do paralelepípedo formado por
,
e
. O volume
de um paralelepípedo formado por três vetores
é dado pelo valor absoluto do produto triplo:
No nosso caso,
,
, e
.
Passo 5
Vamos calcular o produto triplo
. Mas antes, vamos simplificar isso usando uma identidade vetorial conhecida:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente. Sabemos que:
E:
Agora substituindo:
Passo 7
Então, o volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse resultado:
Resposta
O volume do paralelepípedo é
unidades cúbicas.