Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3} e |\vec{u}|=1.
Calcule:
(b) |\vec{u}-\vec{v}|^{2} = |\vec{u}|^{2} + |\vec{v}|^{2}-2\langle\vec{u};\vec{v}\rangle$.
Calcule:
(b) |\vec{u}-\vec{v}|^{2} = |\vec{u}|^{2} + |\vec{v}|^{2}-2\langle\vec{u};\vec{v}\rangle$.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem dois vetores
e
no espaço tridimensional
, e sabemos que a norma de
é 1, ou seja,
. O que queremos fazer é calcular
usando a fórmula que relaciona as normas dos vetores e o produto interno entre eles. Para isso, vamos precisar entender o que é norma de um vetor e o que é produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é uma medida do seu comprimento e é calculada pela fórmula:
onde
é o produto interno de
consigo mesmo.
No nosso caso, queremos calcular
. Usando a propriedade da norma, sabemos que:
Vamos expandir esse produto interno:
Sabemos que
e
. Substituindo na expressão, temos:
Como foi dado que
, então
. Assim, substituindo na equação:
Resposta
Portanto,
.