Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3} e |\vec{u}|=1.
Calcule:
(b) |\vec{u}-\vec{v}|^{2} = |\vec{u}|^{2} + |\vec{v}|^{2}-2\langle\vec{u};\vec{v}\rangle$.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem dois vetores e no espaço tridimensional , e sabemos que a norma de é 1, ou seja, . O que queremos fazer é calcular usando a fórmula que relaciona as normas dos vetores e o produto interno entre eles. Para isso, vamos precisar entender o que é norma de um vetor e o que é produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor |a| = raizlang<= a, a rang<= é uma medida do seu comprimento e é calculada pela fórmula:
|u - v|^2 = lang<= u - v, u - v rang<=
onde lang<= u - v, u - v rang<= = lang<= u, u rang<= - 2lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<= é o produto interno de |u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2lang<= u, v rang<= consigo mesmo.
No nosso caso, queremos calcular |u - v|^2 = 1 + |v|^2 - 2lang<= u, v rang<= . Usando a propriedade da norma, sabemos que:
Vamos expandir esse produto interno:
Sabemos que e . Substituindo na expressão, temos:
Como foi dado que , então . Assim, substituindo na equação:

Resposta

Portanto, .

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