Suponha que
, mostre que
Descreva uma série que representa
.
Descreva uma série que representa
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para
,
e, em seguida, usar esse resultado para escrever uma série que converge a
. Para isso, vamos usar a expansão em série de potências de
e integração termo a termo.
Passo 2
Começamos da série geométrica alternada para
:
Essa expansão também vale no ponto
com
por um argumento de convergência uniforme (ou pelo teorema de Abel).
Passo 3
Integramos ambos os lados de
até
:
Por definição,
. Logo
Passo 4
Basta agora escolher
. Sabemos que
logo
Resposta
Uma série que representa