Calcular as derivadas parciais de 1 ạordem das funções:
z=(x+y) e^{x+2 y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = (x+y)\,e^{\,x+2y}
com respeito a x e a y. Para isso, vamos usar a regra do produto (derivar cada fator por sua vez) e a regra da cadeia para a função exponencial.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Aplicamos a regra do produto a \,(x+y)\cdot e^{\,x+2y}.
  • Derivada de (x+y) em relação a x é 1.
  • Derivada de e^{\,x+2y} em relação a x é e^{\,x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=e^{\,x+2y}.
    Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} =1\cdot e^{\,x+2y}+(x+y)\cdot e^{\,x+2y} =\bigl(1+x+y\bigr)\,e^{\,x+2y}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Novamente, regra do produto para (x+y)\cdot e^{\,x+2y}:
  • Derivada de (x+y) em relação a y é 1.
  • Derivada de e^{\,x+2y} em relação a y é e^{\,x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+2y)=2\,e^{\,x+2y}.
    Portanto,
\frac{\partial z}{\partial y} =1\cdot e^{\,x+2y}+(x+y)\cdot 2\,e^{\,x+2y} =\bigl(1+2(x+y)\bigr)\,e^{\,x+2y}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=(1+x+y)\,e^{\,x+2y}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\bigl(1+2(x+y)\bigr)\,e^{\,x+2y}.

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