Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão respondendo cada uma das questões de forma aleatória. Qual é probabilidade dele acertar no máximo 3 questões?

Passo 1

O problema diz que um aluno responde de modo totalmente aleatório 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas.
Conteúdo: probabilidade com distribuição binomial e combinatória (coeficiente binomial).
O que vamos precisar:
  • Identificar que a situação segue uma Distribuição Binomial com n=10 e p=1/5=0,2.
  • Saber que a probabilidade de ter k acertos é
P(X=k)=binomnkp^k(1-p)^n-k
  • Conhecer a fórmula do coeficiente binomial
binomnk=n!k!,(n-k)!

Passo 2

Definimos a variável aleatória Xsim Binomial(n=10,;p=0,2), = número de acertos em 10 questões.
Então
P(X=k)=binom10k(0,2)^k(0,8)^10-k
e

Passo 3

Vamos calcular P(X=0)=binom100(0,2)^0(0,8)^10 =1cdot1cdot0,8^10approx0,1074 para P(X=1)=binom101(0,2)^1(0,8)^9 =10cdot0,2cdot0,8^9approx0,2684 :
  1. P(X=2)=binom102(0,2)^2(0,8)^8 =45cdot0,04cdot0,8^8approx0,3020 :
P(X=3)=binom103(0,2)^3(0,8)^7 =120cdot0,008cdot0,8^7approx0,2013
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 4

Somamos tudo para achar a probabilidade de “no máximo 3 acertos”:
P(X<=3)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3) approx0,1074+0,2684+0,3020+0,2013=0,8791

Resposta

A probabilidade de o aluno acertar no máximo 3 questões é aproximadamente
boxed0,8791

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