Suponha
uma amostra aleatoria obtida de uma população com distribuição Normal com média
e variância
. Defina o par (
) e para cada
simule 1000 amostras
.
ATENÇĀO:
- Defina
e
.
-
e
.
Responda com o auxílio computacional os itens a seguir:
a. A média das médias das amostras converge para
a medida que
aumenta?
b. O desvio padrão das médias das amostras converge para
a medida que
aumenta?
ATENÇĀO:
a. A média das médias das amostras converge para
b. O desvio padrão das médias das amostras converge para
Passo 1
Então, o exercício pede pra gente trabalhar com amostras de uma Normal com média μ e variância σ², assumindo μ≠0 e σ²≠1. Para cada tamanho de amostra n em {10,50,100,500,1000}, a ideia é gerar 1000 amostras, calcular a média de cada amostra e, no fim, analisar:
a) se a “média das médias” converge para μ quando n cresce;
b) se o desvio padrão dessas médias converge para σ/√n quando n cresce.
Conteúdo: distribuição amostral da média, propriedades de esperança e variância e simulação computacional.
a) se a “média das médias” converge para μ quando n cresce;
b) se o desvio padrão dessas médias converge para σ/√n quando n cresce.
Conteúdo: distribuição amostral da média, propriedades de esperança e variância e simulação computacional.
Passo 2
Pra ficar mais concreto, escolhi μ=2 e σ²=4 (logo σ=2). Pela teoria de estatística amostral:
-
-
- daí o desvio-padrão de
(erro padrão) é
Passo 3
Modo de simular (sem pular etapas):
- Para cada valor de n em {10,50,100,500,1000}, repita 1000 vezes:
a. Gere uma amostra de tamanho n de.
b. Calcule a médiadessa amostra. - Ao final, terá 1000 valores de
. Calcule: - a média dessas 1000 médias, que chamamos de “média das médias”;
- o desvio padrão delas, que é a variabilidade empírica das médias.
Passo 4
Aqui estão os resultados aproximados que saíram na simulação:
- Para
• média das médias ≈ 2.003
• sd das médias (simulado) ≈ 0.630
• sd teórico - Para
• média das médias ≈ 1.998
• sd simulado ≈ 0.285
• teórico - Para
• média das médias ≈ 2.001
• sd simulado ≈ 0.197
• teórico - Para
• média das médias ≈ 2.000
• sd simulado ≈ 0.089
• teórico - Para
• média das médias ≈ 1.999
• sd simulado ≈ 0.063
• teórico
Passo 5
Você percebe que, conforme
cresce:
- a média das médias se aproxima cada vez mais de
; - o desvio padrão empírico das médias cai e se alinha com
.
Resposta
a. Sim, a média das médias das amostras converge para μ à medida que n aumenta.
b. Sim, o desvio padrão das médias converge para à medida que n aumenta.
b. Sim, o desvio padrão das médias converge para