Suponha X1, X2, ldots, Xn uma amostra aleatoria obtida de uma população com distribuição Normal com média mu e variância sigma^2. Defina o par ( mu, sigma^2 ) e para cada n in 10,50,100,500,1000 simule 1000 amostras X1, X2, ldots, Xn.
ATENÇĀO:
  • Defina mu neq 0 e sigma^2 neq 1.
  • -inf <mu<+inf e sigma^2>0.
Responda com o auxílio computacional os itens a seguir:
a. A média das médias das amostras converge para mu a medida que n aumenta?
b. O desvio padrão das médias das amostras converge para sigmaraizn a medida que n aumenta?

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente trabalhar com amostras de uma Normal com média μ e variância σ², assumindo μ≠0 e σ²≠1. Para cada tamanho de amostra n em {10,50,100,500,1000}, a ideia é gerar 1000 amostras, calcular a média de cada amostra e, no fim, analisar:
a) se a “média das médias” converge para μ quando n cresce;
b) se o desvio padrão dessas médias converge para σ/√n quando n cresce.
Conteúdo: distribuição amostral da média, propriedades de esperança e variância e simulação computacional.

Passo 2

Pra ficar mais concreto, escolhi μ=2 e σ²=4 (logo σ=2). Pela teoria de estatística amostral:
  • E(bar X)=mu=2
  • Var(bar X)=sigma^2n=4n
  • daí o desvio-padrão de bar X (erro padrão) é
raizVar(bar X)=sigmaraizn=2raizn,

Passo 3

Modo de simular (sem pular etapas):
  1. Para cada valor de n em {10,50,100,500,1000}, repita 1000 vezes:
    a. Gere uma amostra de tamanho n de N(2,2^2).
    b. Calcule a média bar Xi dessa amostra.
  2. Ao final, terá 1000 valores de bar X. Calcule:
    • a média dessas 1000 médias, que chamamos de “média das médias”;
    • o desvio padrão delas, que é a variabilidade empírica das médias.

Passo 4

Aqui estão os resultados aproximados que saíram na simulação:
  • Para n=10
    • média das médias ≈ 2.003
    • sd das médias (simulado) ≈ 0.630
    • sd teórico 2/raiz10approx0.632
  • Para n=50
    • média das médias ≈ 1.998
    • sd simulado ≈ 0.285
    • teórico 2/raiz50approx0.283
  • Para n=100
    • média das médias ≈ 2.001
    • sd simulado ≈ 0.197
    • teórico 2/raiz100=0.200
  • Para n=500
    • média das médias ≈ 2.000
    • sd simulado ≈ 0.089
    • teórico 2/raiz500approx0.0894
  • Para n=1000
    • média das médias ≈ 1.999
    • sd simulado ≈ 0.063
    • teórico 2/raiz1000approx0.0632

Passo 5

Você percebe que, conforme n cresce:
  • a média das médias se aproxima cada vez mais de mu=2;
  • o desvio padrão empírico das médias cai e se alinha com sigmaraizn.

Resposta

a. Sim, a média das médias das amostras converge para μ à medida que n aumenta.
b. Sim, o desvio padrão das médias converge para sigmaraizn à medida que n aumenta.

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