Suponha que
e
são eventos mutuamentes independentes e
. Mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos três eventos $ A $, $ B $ e $ C $ que são mutuamente independentes. Isso significa que a ocorrência de um não afeta a ocorrência dos outros. O exercício quer que a gente mostre que a probabilidade de $ C $ acontecer dado que $ A $ e $ B $ aconteceram é igual à probabilidade de $ C $ acontecer sozinho, ou seja, $ P(C \mid A \cap B) = P© $.
Passo 2
Vamos começar lembrando a definição de probabilidade condicional. A probabilidade de $ C $ dado que $ A $ e $ B $ aconteceram é dada por:
Isso significa que queremos saber a probabilidade de $ C $ acontecer junto com $ A $ e $ B $, dividida pela probabilidade de $ A $ e $ B $ acontecerem juntos.
Passo 3
Como os eventos são mutuamente independentes, a probabilidade da interseção deles é o produto das probabilidades individuais. Ou seja:
E também sabemos que:
Isso ocorre porque, sendo independentes, a ocorrência de $ A $ não afeta a de $ B $, e vice-versa.
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões na fórmula da probabilidade condicional:
Perceba que $ P(A) \times P(B) $ aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar.
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Isso mostra que a probabilidade de $ C $ acontecer não é afetada pela ocorrência de $ A $ e $ B $, confirmando a independência.