Suponha que A, B e C são eventos mutuamentes independentes e P(A cap B) neq 0. Mostre que P(C mid A cap B)=P(C).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos três eventos $ A $, $ B $ e $ C $ que são mutuamente independentes. Isso significa que a ocorrência de um não afeta a ocorrência dos outros. O exercício quer que a gente mostre que a probabilidade de $ C $ acontecer dado que $ A $ e $ B $ aconteceram é igual à probabilidade de $ C $ acontecer sozinho, ou seja, $ P(C \mid A \cap B) = P© $.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição de probabilidade condicional. A probabilidade de $ C $ dado que $ A $ e $ B $ aconteceram é dada por:
C
Isso significa que queremos saber a probabilidade de $ C $ acontecer junto com $ A $ e $ B $, dividida pela probabilidade de $ A $ e $ B $ acontecerem juntos.

Passo 3

Como os eventos são mutuamente independentes, a probabilidade da interseção deles é o produto das probabilidades individuais. Ou seja:
P(C cap A cap B) = P(C) times P(A) times P(B)
E também sabemos que:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Isso ocorre porque, sendo independentes, a ocorrência de $ A $ não afeta a de $ B $, e vice-versa.

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões na fórmula da probabilidade condicional:
P(C mid A cap B) = P(C) times P(A) times P(B)P(A) times P(B)
Perceba que $ P(A) \times P(B) $ aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar.

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
P(C mid A cap B) = P(C)
Isso mostra que a probabilidade de $ C $ acontecer não é afetada pela ocorrência de $ A $ e $ B $, confirmando a independência.

Resposta

P(C mid A cap B) = P(C)

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