Nos itens a seguir, verifique se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico se a resposta for verdadeira, ou um contra exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
(AB)² = A²B², ∀ A, B ∈ Mₙ(ℝ).
(AB)² = A²B², ∀ A, B ∈ Mₙ(ℝ).
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos se a igualdade
vale para todas as matrizes
. O tema é álgebra de matrizes, em que a multiplicação geralmente não é comutativa, ou seja, em geral
.
Passo 2
Para refutar a afirmação, basta um contraexemplo com duas matrizes que não comutam. Seja
Calculamos primeiro
logo
Agora
então
Como
a igualdade falha.]
Passo 3
Concluímos que a afirmação é falsa, pois depende de
e
comutarem, e isso não ocorre em geral.
Resposta
Falsa.