Nos itens a seguir, verifique se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico se a resposta for verdadeira, ou um contra exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
(AB)² = A²B², ∀ A, B ∈ Mₙ(ℝ).

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se a igualdade
(AB)^2 = A^2 B^2
vale para todas as matrizes A,B\in M_n(\mathbb{R}). O tema é álgebra de matrizes, em que a multiplicação geralmente não é comutativa, ou seja, em geral AB\neq BA.

Passo 2

Para refutar a afirmação, basta um contraexemplo com duas matrizes que não comutam. Seja
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Calculamos primeiro
A^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad B^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix},
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A^2 B^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora
AB = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix},
então
(AB)^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Como
(AB)^2 \;=\;\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix} \quad\neq\quad \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix} \;=\;A^2 B^2,
a igualdade falha.]

Passo 3

Concluímos que a afirmação é falsa, pois depende de A e B comutarem, e isso não ocorre em geral.

Resposta

Falsa.

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