Suponha que
e
sejam três eventos tais que
e
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos três eventos
,
e
. Sabemos que
Temos de provar que, no fim das contas,
.
Conteúdo: é um probleminha de probabilidade, usando probabilidade condicional e a lei da probabilidade total.
Conteúdo: é um probleminha de probabilidade, usando probabilidade condicional e a lei da probabilidade total.
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de probabilidade condicional e da lei da probabilidade total:
- Definição:
- Lei da probabilidade total para
:
Agora, usando a definição de condicional, dá pra reescrever cada termo:
Passo 3
Faz o mesmo pra
. Então
Como nos enunciados temos
e
,
e também e
, a gente consegue multiplicar essas desigualdades por
e
sem trocar o sinal:
e
e também
Passo 4
Agora é só somar as duas desigualdades:
Mas o lado esquerdo é exatamente
e o direito é
. Então dá