Suponha que A, B e D sejam três eventos tais que Pr(A mid D) >= Pr(B mid D) e Pr(A mid D^c) >= Pr(B mid D^c). Prove que Pr(A) >= Pr(B).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos três eventos Pr(Amid D);>=;Pr(Bmid D) e Prl(Amid D^cr);>=;Prl(Bmid D^cr) , e . Sabemos que
Temos de provar que, no fim das contas, .
Conteúdo: é um probleminha de probabilidade, usando probabilidade condicional e a lei da probabilidade total.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de probabilidade condicional e da lei da probabilidade total:
  • Definição: Pr(Amid D)=Pr(Acap D)Pr(D), Pr(Amid D^c)=Pr(Acap D^c)Pr(D^c)
  • Lei da probabilidade total para Pr(A) =Pr(Acap D)+Prl(Acap D^cr) : Pr(Acap D)=Pr(Amid D),Pr(D), Prl(Acap D^cr) =Prl(Amid D^cr),Pr(D^c)
Agora, usando a definição de condicional, dá pra reescrever cada termo:

Passo 3

Faz o mesmo pra Pr(A) =Pr(Amid D),Pr(D) ;+;Prl(Amid D^cr),Pr(D^c), . Então
Pr(B) =Pr(Bmid D),Pr(D) ;+;Prl(Bmid D^cr),Pr(D^c)
Pr(Amid D),Pr(D);>=;Pr(Bmid D),Pr(D),
Como nos enunciados temos
Prl(Amid D^cr),Pr(D^c) ;>=;Prl(Bmid D^cr),Pr(D^c)
e
,
e também e , a gente consegue multiplicar essas desigualdades por e sem trocar o sinal:

Passo 4

Agora é só somar as duas desigualdades:
l[Pr(Amid D),Pr(D)r] +l[Pr(Amid D^c),Pr(D^c)r] ;>=; l[Pr(Bmid D),Pr(D)r] +l[Pr(Bmid D^c),Pr(D^c)r]
Mas o lado esquerdo é exatamente Pr(A);>=;Pr(B) e o direito é . Então dá

Resposta

.

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