Suponha que A e B são eventos independentes tais que Pr(A)=1 / 3 e Pr(B)>0. Qual é o valor de Pr(A cup B^c mid B) ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que A e B são eventos independentes, com
Prl(Acup B^c ,m|, Br) e . A pergunta é
Isso envolve:
  • Probabilidade condicional,
  • União de eventos,
  • Complemento de um evento,
  • Independência (para calcular ).

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de probabilidade condicional:
Pr(Xmid Y)=Pr(Xcap Y)Pr(Y),
desde que Prl(Acup B^c mid Br) = Prl((Acup B^c)cap Br)Pr(B) . Aqui e .
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Passo 3

Agora a gente simplifica a interseção (Acup B^c)cap B = (Acap B);cup;(B^ccap B) .
Pela distributiva:
(Acup B^c)cap B = Acap B
Mas é o vazio, porque e seu complemento não têm ponto em comum.
Então

Passo 4

Substituindo na fórmula da condicional:
Prl(Acup B^cmid Br) = Pr(Acap B)Pr(B)
E como A e B são independentes, vale
Pr(Acap B) = Pr(A),Pr(B) = tfrac13;Pr(B)
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Prl(Acup B^cmid Br) = tfrac13,Pr(B)Pr(B) = tfrac13

Resposta

.

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