Mostre que, se B \subset A, então:
B \cup C_{A}(B)=A;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se B \subset A, então
B \cup C_{A}(B)=A.
Informações dadas:
  • Há dois conjuntos A e B.
  • Foi dada a condição B \subset A.
  • A notação C_{A}(B) denota o complemento de B relativo a A (ou seja, os elementos de A que não estão em B).
    O que se pede: provar a igualdade entre dois conjuntos.

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados devagar):
  • A notação B \subset A significa: para todo elemento x, se x\in B então x\in A. Em símbolos: B \subset A \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in B \Rightarrow x\in A).
  • A união de dois conjuntos X e Y é o conjunto dos elementos que pertencem a X ou a Y (ou ambos). Em símbolos: X\cup Y = \{x \mid x\in X \\ \text{ou}\\ x\in Y\}.
  • O complemento de B relativo a A, denotado C_A(B) ou A\setminus B, é C_A(B)=A\setminus B=\{x\in A \mid x\notin B\}.
Essas definições bastam para montar a prova.

Passo 3

Estratégia da prova (método elementar e clássico): provar a igualdade de conjuntos mostrando duas inclusões:
  1. \displaystyle A \subset B\cup C_A(B).
  2. \displaystyle B\cup C_A(B)\subset A.
    Se ambas as inclusões forem verdadeiras, então os conjuntos são iguais.

Passo 4

Prova da inclusão \displaystyle A \subset B\cup C_A(B).
Tomemos um elemento arbitrário x\in A. Queremos mostrar que x\in B\cup C_A(B), ou seja, que x\in B ou x\in C_A(B).
Existem exatamente duas possibilidades para x em relação a B:
  • Caso 1: x\in B. Então imediatamente x\in B\cup C_A(B) pela definição de união.
  • Caso 2: x\notin B. Como x\in A e x\notin B, pela definição de complemento relativo temos x\in C_A(B). Logo x\in B\cup C_A(B).
Como x era arbitrário, concluímos que todo x\in A pertence a B\cup C_A(B). Portanto
A \subset B\cup C_A(B).

Passo 5

Prova da inclusão \displaystyle B\cup C_A(B)\subset A.
Tomemos um elemento arbitrário y\in B\cup C_A(B). Pela definição de união, isso significa que y\in B ou y\in C_A(B).
  • Se y\in B, então, usando a hipótese B\subset A, segue que y\in A.
  • Se y\in C_A(B), pela definição de C_A(B) temos y\in A (pois todo elemento de C_A(B) é um elemento de A que não está em B).
Em ambos os subcasos y\in A. Como y era arbitrário, obtemos
B\cup C_A(B)\subset A.

Passo 6

Conclusão combinando as duas inclusões: de \displaystyle A \subset B\cup C_A(B) e \displaystyle B\cup C_A(B)\subset A segue a igualdade dos conjuntos:
B\cup C_A(B)=A.
Intuição rápida: dentro de A todo elemento está ou em B ou não está em B; os que não estão formam exatamente C_A(B). Juntando os que estão e os que não estão recupera-se todo A.

Resposta

B \cup C_{A}(B)=A

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