Mostre que, se
, então:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
, então
Informações dadas:
- Há dois conjuntos
e . - Foi dada a condição
. - A notação
denota o complemento de relativo a (ou seja, os elementos de que não estão em ).
O que se pede: provar a igualdade entre dois conjuntos.
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados devagar):
- A notação
significa: para todo elemento , se então . Em símbolos: - A união de dois conjuntos
e é o conjunto dos elementos que pertencem a ou a (ou ambos). Em símbolos: - O complemento de
relativo a , denotado ou , é
Essas definições bastam para montar a prova.
Passo 3
Estratégia da prova (método elementar e clássico): provar a igualdade de conjuntos mostrando duas inclusões:
-
. -
.
Se ambas as inclusões forem verdadeiras, então os conjuntos são iguais.
Passo 4
Prova da inclusão
.
Tomemos um elemento arbitrário
. Queremos mostrar que
, ou seja, que
ou
.
Existem exatamente duas possibilidades para
em relação a
:
- Caso 1:
. Então imediatamente pela definição de união. - Caso 2:
. Como e , pela definição de complemento relativo temos . Logo .
Como
era arbitrário, concluímos que todo
pertence a
. Portanto
Passo 5
Prova da inclusão
.
Tomemos um elemento arbitrário
. Pela definição de união, isso significa que
ou
.
- Se
, então, usando a hipótese , segue que . - Se
, pela definição de temos (pois todo elemento de é um elemento de que não está em ).
Em ambos os subcasos
. Como
era arbitrário, obtemos
Passo 6
Conclusão combinando as duas inclusões: de
e
segue a igualdade dos conjuntos:
Intuição rápida: dentro de
todo elemento está ou em
ou não está em
; os que não estão formam exatamente
. Juntando os que estão e os que não estão recupera-se todo
.