Três jogadores A, B, e C arremessam uma moeda um de cada vez. Suponha que A arremesse a moeda primeiro, B arremesse em segundo, e C arremesse em terceiro; e suponha que o ciclo se repita até que alguém vença ao obter uma cara. Determine a probabilidade que cada um dos três jogadores vencer o jogo.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: três jogadores A, B e C jogam uma moeda por vez, na ordem A → B → C, e isso vai se repetindo até alguém tirar cara (que é a vitória). A gente quer saber a probabilidade de cada um deles ganhar.
Conteúdo da matéria: probabilidade em eventos independentes e soma de série geométrica infinita.
O que vamos precisar:
  1. Saber que cada lançamento tem P(cara)=½ e P(coroa)=½, e que lançamentos são independentes.
  2. Entender que se ninguém ganhar num ciclo (A, B e C jogando), o jogo “recomeça do zero”, criando uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos ver as chances de cada um ganhar no primeiro ciclo (isto é, em seus primeiros lançamentos):
  • A joga primeiro e vence se tirar cara: P(A vence na 1ª chance) = tfrac12ª
    - Se A falhar (cair coroa, probabilidade tfrac12), B joga e vence se tirar cara:
    P(B vence na 1ª chance) = tfrac12 (A falha) times tfrac12 (B acerta) = tfrac14ª
  • Se A e B falharem (cada um com prob. tfrac12), C joga e vence se tirar cara: P(C vence na 1ª chance) = tfrac12 times tfrac12 times tfrac12 = tfrac18ª

Passo 3

Agora, se A, B e C todos falharem no primeiro ciclo, a probabilidade disso é
P(todos falham no 1º ciclo) = tfrac12 times tfrac12 times tfrac12 = tfrac18º
Nesse caso, nada mudou: o jogo “recomeça” com A de novo, com as mesmas chances. Essa repetição gera uma série geométrica.

Passo 4

Vamos calcular P(A vence em algum momento). A pode vencer no 1º ciclo, ou no 2º ciclo depois de todos falharem no 1º, ou no 3º ciclo depois de duas falhas completas, e por aí vai.
Cada ciclo inteiro de falhas tem probabilidade r = tfrac18, e A ganha na primeira jogada de cada ciclo com a = tfrac12.
Então
P(A) = a + r,a + r^2,a + cdots = asumk=0^inftyr^k = a1-r
Substituindo a=tfrac12 e r=tfrac18,
P(A) = 121 - 18 = 1278 = 12 times 87 = 47

Passo 5

Mesma ideia para B e C:
  • Para B, a probabilidade de ganhar num dado ciclo é b = tfrac14. P(B) = b + r,b + r^2,b + cdots = b1-r = tfrac1478 = 14 times 87 = 27
  • Para C, a probabilidade por ciclo é c = tfrac18. P(C) = c1-r = tfrac1878 = 18 times 87 = 17

Resposta

P(A) = 4/7, P(B) = 2/7, P© = 1/7.

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