Três jogadores
, e
arremessam uma moeda um de cada vez. Suponha que
arremesse a moeda primeiro,
arremesse em segundo, e
arremesse em terceiro; e suponha que o ciclo se repita até que alguém vença ao obter uma cara. Determine a probabilidade que cada um dos três jogadores vencer o jogo.
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: três jogadores A, B e C jogam uma moeda por vez, na ordem A → B → C, e isso vai se repetindo até alguém tirar cara (que é a vitória). A gente quer saber a probabilidade de cada um deles ganhar.
Conteúdo da matéria: probabilidade em eventos independentes e soma de série geométrica infinita.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: probabilidade em eventos independentes e soma de série geométrica infinita.
O que vamos precisar:
- Saber que cada lançamento tem P(cara)=½ e P(coroa)=½, e que lançamentos são independentes.
- Entender que se ninguém ganhar num ciclo (A, B e C jogando), o jogo “recomeça do zero”, criando uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos ver as chances de cada um ganhar no primeiro ciclo (isto é, em seus primeiros lançamentos):
- A joga primeiro e vence se tirar cara:
- Se A falhar (cair coroa, probabilidade), B joga e vence se tirar cara:
- Se A e B falharem (cada um com prob.
), C joga e vence se tirar cara:
Passo 3
Agora, se A, B e C todos falharem no primeiro ciclo, a probabilidade disso é
Nesse caso, nada mudou: o jogo “recomeça” com A de novo, com as mesmas chances. Essa repetição gera uma série geométrica.
Passo 4
Vamos calcular P(A vence em algum momento). A pode vencer no 1º ciclo, ou no 2º ciclo depois de todos falharem no 1º, ou no 3º ciclo depois de duas falhas completas, e por aí vai.
Cada ciclo inteiro de falhas tem probabilidade , e A ganha na primeira jogada de cada ciclo com
.
Então
Cada ciclo inteiro de falhas tem probabilidade
Então
Substituindo
e
,
Passo 5
Mesma ideia para B e C:
- Para B, a probabilidade de ganhar num dado ciclo é
. - Para C, a probabilidade por ciclo é
.
Resposta
P(A) =
, P(B) =
, P© =
.