Suponha que A e B são eventos tais que P(A)=1 / 3, P(B)=1 / 5, e P(A mid B)+P(B mid A)=2 / 3. Evaluate P(A^c cup B^c).

Passo 1

Beleza, aqui o exercício diz que temos dois eventos A e B com
P(Amid B)+P(Bmid A)=tfrac23 , e
O que ele pede é .
Conteúdo e o que vamos precisar:
  • Noções de probabilidade de interseção e de complementar.
  • Definição de probabilidade condicional .
  • Regra do complemento e De Morgan: .

Passo 2

Primeiro liga:
Pela lei do complemento,
A^ccup B^c=(Acap B)^c Longrightarrow P(A^ccup B^c)=1-P(Acap B)
Então o “x” que falta é .

Passo 3

Agora vamos usar a condição
P(Amid B)+P(Bmid A)=tfrac23
Lembrando:
P(Amid B)=P(Acap B)P(B), P(Bmid A)=P(Acap B)P(A)
Seja xP(B)+xP(A) =x1/5+x1/3 =5x+3x=8x . Então
8x=tfrac23 Longrightarrow x=23times18=224=112
E isso deve valer . Logo

Passo 4

Voltando em
P(A^ccup B^c)=1-P(Acap B) =1-tfrac112 =tfrac1112

Resposta

.

Exercícios relacionados