Suponha que 2 bolas sejam retiradas, sem reposição, de uma urna que contém inicialmente 2 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 5 azuis. Sejam X e Y variáveis aleatórias que representam o número de bolas vermelhas e brancas retiradas, respectivamente.
(b) Encontre a Função de Distribuição Acumulada Conjunta do vetor aleatório (X, Y).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o problema pede. Temos uma urna com 2 bolas vermelhas, 3 brancas e 5 azuis (total 10), e a gente retira 2 bolas sem reposição. Definimos duas variáveis aleatórias:
• X = número de bolas vermelhas retiradas
• Y = número de bolas brancas retiradas
O item (b) quer a função de distribuição acumulada conjunta
.
Para resolver isso, vamos precisar do conceito de distribuição hipergeométrica (porque tiramos sem reposição) e saber montar somatórios para a CDF.

Passo 2

Antes de chegar na CDF, precisamos do PMF conjunta P(X=i,Y=j) =binom2i,binom3j,binom52-i-jbinom102, . Como se trata de hipergeométrica em três cores, para retirar exatamente vermelhas, brancas e o resto (2– ) azuis, a probabilidade é
desde que
0 ≤ i ≤ 2,
0 ≤ j ≤ 2,
e .
Fora desses valores a probabilidade é zero.

Passo 3

Agora, a definição da CDF conjunta é
FX,Y(x,y) =P(X<= x,;Y<= y) =sumi=0^lfloor xrfloor,sumj=0^lfloor yrfloor P(X=i,Y=j),
mas tomando só os pares FX,Y(x,y) =sumi=0^lfloor xrfloor;sumj=0^lfloor yrfloor binom2i,binom3j,binom52-i-jbinom102 (para (i+j<=2)), que satisfazem . Substituindo o PMF:
e definimos
• Se ou , então .
• Se e , então .

Resposta

[
\boxed{
F_{X,Y}(x,y)

boxed FX,Y(x,y) = 0, & lfloor xrfloor<0 ou lfloor yrfloor<0,[6pt] sumi=0^lfloor xrfloor; sumsubstackj=0 i+j<=2^lfloor yrfloor binom2i,binom3j,binom52-i-jbinom102, & caso >=ral,[8pt] 1, & lfloor xrfloor>=2 e lfloor yrfloor>=2
}
]

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