Suponha que 2 bolas sejam retiradas, sem reposição, de uma urna que contém inicialmente 2 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 5 azuis. Sejam
e
variáveis aleatórias que representam o número de bolas vermelhas e brancas retiradas, respectivamente.
(b) Encontre a Função de Distribuição Acumulada Conjunta do vetor aleatório
.
(b) Encontre a Função de Distribuição Acumulada Conjunta do vetor aleatório
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o problema pede. Temos uma urna com 2 bolas vermelhas, 3 brancas e 5 azuis (total 10), e a gente retira 2 bolas sem reposição. Definimos duas variáveis aleatórias:
• X = número de bolas vermelhas retiradas
• Y = número de bolas brancas retiradas
O item (b) quer a função de distribuição acumulada conjunta
.
Para resolver isso, vamos precisar do conceito de distribuição hipergeométrica (porque tiramos sem reposição) e saber montar somatórios para a CDF.
• X = número de bolas vermelhas retiradas
• Y = número de bolas brancas retiradas
O item (b) quer a função de distribuição acumulada conjunta
Para resolver isso, vamos precisar do conceito de distribuição hipergeométrica (porque tiramos sem reposição) e saber montar somatórios para a CDF.
Passo 2
Antes de chegar na CDF, precisamos do PMF conjunta
. Como se trata de hipergeométrica em três cores, para retirar exatamente
vermelhas,
brancas e o resto (2–
–
) azuis, a probabilidade é
desde que
0 ≤ i ≤ 2,
0 ≤ j ≤ 2,
e .
Fora desses valores a probabilidade é zero.
0 ≤ i ≤ 2,
0 ≤ j ≤ 2,
e
Fora desses valores a probabilidade é zero.
Passo 3
Agora, a definição da CDF conjunta é
mas tomando só os pares
que satisfazem
. Substituindo o PMF:
e definimos
• Se ou
, então
.
• Se e
, então
.
• Se
• Se
Resposta
[
\boxed{
F_{X,Y}(x,y)
}
]