Suponha que um vetor aleatório (Z, W) tenha Função Distribuição Acumulada definida por:
FZ, W(z, w)= 0 & , se z<3 ou w<0 1 / 10 & , se 3 <= z<4 e 0 <= w<1 3 / 10 & , se 4 <= z<6 e 0 <= w<1 4 / 10 & , se z >= 6 e 0 <= w<1 3 / 10 & , se 3 <= z<4 e w >= 1 6 / 10 & , se 4 <= z<6 e w >= 1 1 & , se z >= 6 e w >= 1
(a) Quais os possíveis valores que o vetor aleatório (Z, W) pode assumir? Esse vetor é discreto ou contínuo?

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão diz que temos um vetor aleatório com uma função de distribuição acumulada que é dada pedaço a pedaço, em faixas de e . O que a gente precisa descobrir é:
  1. Quais valores pode assumir?
  2. Esse vetor é discreto ou contínuo?
Para resolver isso, vamos lembrar de um conceito básico de CDF:
  • Se a CDF é “em degraus” (tem saltos), isso indica pontos onde há probabilidade concentrada → discreto.
  • Se a CDF é “lisinha” e cresce suave, seria contínuo.
Pra achar os pontos de salto (ou seja, onde bate probabilidade), a gente olha onde muda de valor “de repente”.

Passo 2

Teoria rapidinha:
  • A CDF de um vetor discreto só muda valor (dá um salto) em pontos onde ele pode cair. Se a CDF fica constante num retângulo e, aos limites desse retângulo, salta, então temos distribuição discreta nestes pontos de salto.
  • Pra cada ponto z<3,;3<= z<4,;4<= z<6,;z>=6 e w<0,;0<= w<1,;w>=1 onde houver salto, a probabilidade é justamente o tamanho desse salto.
No nosso caso, a tabela de é constante em retângulos definidos por
Então os “saltos” só podem acontecer nas fronteiras e .

Passo 3

Vamos identificar os pontos zin3,4,6 e win0,1 que geram salto na CDF. São as combinações:
Isso porque, por exemplo, ao cruzar de para (mantendo em ), o valor de pula de 0 para . Similarmente, em cada uma das 6 combinações das fronteiras, há um pulo.

Passo 4

Como todos os “salto-candidatos” são apenas nesses pontos isolados, não há densidade contínua espalhada pelo plano. Logo, só pode “cair” em um dos 6 pontos que a gente listou e, portanto, é uma v.a. discreta.

Resposta

Possíveis valores de (3,0),;(4,0),;(6,0),;(3,1),;(4,1),;(6,1) :
E o vetor é discreto, pois sua CDF tem saltos somente nesses pontos.

Exercícios relacionados