Suponha que \boldsymbol{x} pertença a \mathbb{R}^{2} e encontre a matriz associada à forma quadrática.
\quad 10 x_{1}^{2}-6 x_{1} x_{2}-3 x_{2}^{2}

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática em \mathbb{R}^{2}
10x_{1}^{2}-6x_{1}x_{2}-3x_{2}^{2},
e pede: encontrar a matriz associada a essa forma quadrática (isto é, a matriz A tal que a forma vale \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} para \boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2})^{T}). As informações relevantes são os coeficientes de x_{1}^{2}, x_{1}x_{2} e x_{2}^{2}, que são respectivamente 10, -6 e -3.

Passo 2

Vamos lembrar (e entender) como a matriz gera os termos quadráticos e mistos. Seja
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt]a_{12} & a_{22}\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}.
Por definição de multiplicação matricial, temos
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}x_{1} & x_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt]a_{12} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação passo a passo (mostro porque isso explica de onde vem o “2” no termo misto):
A\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\\[4pt]a_{12}x_{1}+a_{22}x_{2}\end{pmatrix},
então
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} = x_{1}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}) + x_{2}(a_{12}x_{1}+a_{22}x_{2}).
Agrupando termos:
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} = a_{11}x_{1}^{2} + 2a_{12}x_{1}x_{2} + a_{22}x_{2}^{2}.
Portanto, o coeficiente do termo misto x_{1}x_{2} na forma quadrática é 2a_{12}. É por isso que a matriz associada é tomada simétrica (escolhemos a_{21}=a_{12}) — isso garante que o termo misto venha corretamente como 2a_{12}x_{1}x_{2}.]

Passo 3

Agora comparemos a forma dada com a expressão geral:
10x_{1}^{2}-6x_{1}x_{2}-3x_{2}^{2} \quad\text{versus}\quad a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2}^{2}.
Igualando coeficientes obtemos:
a_{11}=10,
2a_{12}=-6 \quad\Rightarrow\quad a_{12}=-3,
a_{22}=-3.

Passo 4

Com esses valores, a matriz associada A é
A=\begin{pmatrix}10 & -3\\[4pt]-3 & -3\end{pmatrix}.
Observação: a matriz é simétrica, como esperado.]

Passo 5

Vamos verificar rapidamente que essa A recupera a forma original. Calculando \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}:
A\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}10x_{1}-3x_{2}\\[4pt]-3x_{1}-3x_{2}\end{pmatrix},
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=x_{1}(10x_{1}-3x_{2})+x_{2}(-3x_{1}-3x_{2}) =10x_{1}^{2}-3x_{1}x_{2}-3x_{1}x_{2}-3x_{2}^{2},
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=10x_{1}^{2}-6x_{1}x_{2}-3x_{2}^{2},
que é exatamente a forma dada. Confere!]

Passo 6

Um exemplo extra, pra fixar: se eu tivesse 4x_{1}^{2}+10x_{1}x_{2}+5x_{2}^{2}, então equaciono 2a_{12}=10 dando a_{12}=5 e a matriz seria
\begin{pmatrix}4 & 5\\[4pt]5 & 5\end{pmatrix}.
Isso mostra a regra prática: diagonal = coeficientes dos quadrados; meio do coeficiente misto = entrada off-diagonal.]

Resposta

\begin{pmatrix}10 & -3\\[4pt]-3 & -3\end{pmatrix}]

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