Suponha que
pertença a
e encontre a matriz associada à forma quadrática.
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática em
e pede: encontrar a matriz associada a essa forma quadrática (isto é, a matriz
tal que a forma vale
para
). As informações relevantes são os coeficientes de
,
e
, que são respectivamente
,
e
.
Passo 2
Vamos lembrar (e entender) como a matriz gera os termos quadráticos e mistos. Seja
Por definição de multiplicação matricial, temos
Fazendo a multiplicação passo a passo (mostro porque isso explica de onde vem o “2” no termo misto):
então
Agrupando termos:
Portanto, o coeficiente do termo misto
na forma quadrática é
. É por isso que a matriz associada é tomada simétrica (escolhemos
) — isso garante que o termo misto venha corretamente como
.]
Passo 3
Agora comparemos a forma dada com a expressão geral:
Igualando coeficientes obtemos:
Passo 4
Com esses valores, a matriz associada
é
Observação: a matriz é simétrica, como esperado.]
Passo 5
Vamos verificar rapidamente que essa
recupera a forma original. Calculando
:
que é exatamente a forma dada. Confere!]
Passo 6
Um exemplo extra, pra fixar: se eu tivesse
, então equaciono
dando
e a matriz seria
Isso mostra a regra prática: diagonal = coeficientes dos quadrados; meio do coeficiente misto = entrada off-diagonal.]