Suponha que \boldsymbol{x} pertença a \mathbb{R}^{2} e encontre a matriz associada à forma quadrática.
\quad 5 x_{1}^{2}+3 x_{1} x_{2}

Passo 1

O enunciado diz: seja \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{2} e a forma quadrática é
5x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}.
A pergunta é: encontrar a matriz associada a essa forma quadrática (presumindo a base canônica). Informações dadas: os coeficientes dos termos são 5 para x_{1}^{2}, 3 para x_{1}x_{2} e não há termo x_{2}^{2} explícito (ou seja coeficiente 0 para x_{2}^{2}).

Passo 2

O que significa “matriz associada” a uma forma quadrática? Vou explicar passo a passo. Uma forma quadrática em \mathbb{R}^{2} pode ser escrita como
q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x},
onde \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} e A é uma matriz 2\times2. Para que a representação seja única e conveniente, tomamos A simétrica, isto é,
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt]a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}.
Agora vou expandir \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} em termos de x_{1} e x_{2}.]

Passo 3

Calculemos a expansão:
A\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt]a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\\[4pt]a_{12}x_{1}+a_{22}x_{2}\end{pmatrix}.
Então
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1} & x_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\\[4pt]a_{12}x_{1}+a_{22}x_{2}\end{pmatrix}.
Multiplicando,
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2}^{2}.
Observe que o coeficiente do termo misto x_{1}x_{2} aparece como 2a_{12} — por isso, ao traduzir uma forma quadrática para uma matriz simétrica, dividimos o coeficiente do termo misto por 2.]

Passo 4

Agora igualamos a expansão geral com a forma dada. Temos
a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2}^{2}=5x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+0\cdot x_{2}^{2}.
Igualando coeficientes:
a_{11}=5,\qquad 2a_{12}=3,\qquad a_{22}=0.
Portanto
a_{12}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Escrevendo a matriz A encontramos
A=\begin{pmatrix}5 & \tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2} & 0\end{pmatrix}.
Verificação rápida (para reforçar a ideia): calcule \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} com essa A:
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=5x_{1}^{2}+2\cdot\frac{3}{2}x_{1}x_{2}+0\cdot x_{2}^{2}=5x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2},
que bate com a forma dada. Legal — a matriz simétrica é única para essa forma.]

Passo 6

Resumo e dica para a prova: para converter uma forma quadrática em \mathbb{R}^{n} para sua matriz simétrica associada, escreva a forma como soma de x_{i}^{2} e x_{i}x_{j} e use a regra
\text{o coeficiente de }x_{i}^{2}\Rightarrow a_{ii},\qquad \text{o coeficiente de }x_{i}x_{j}\Rightarrow 2a_{ij}.
Ou seja, divida o coeficiente do termo misto por 2 para obter a_{ij}. Isso evita erros bobos na hora da prova.

Resposta

A=\begin{pmatrix}5 & \tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2} & 0\end{pmatrix}]

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