Suponha que
pertença a
e encontre a matriz associada à forma quadrática.
Passo 1
O enunciado diz: seja
e a forma quadrática é
A pergunta é: encontrar a matriz associada a essa forma quadrática (presumindo a base canônica). Informações dadas: os coeficientes dos termos são
para
,
para
e não há termo
explícito (ou seja coeficiente
para
).
Passo 2
O que significa “matriz associada” a uma forma quadrática? Vou explicar passo a passo. Uma forma quadrática em
pode ser escrita como
onde
e
é uma matriz
. Para que a representação seja única e conveniente, tomamos
simétrica, isto é,
Agora vou expandir
em termos de
e
.]
Passo 3
Calculemos a expansão:
Então
Multiplicando,
Observe que o coeficiente do termo misto
aparece como
— por isso, ao traduzir uma forma quadrática para uma matriz simétrica, dividimos o coeficiente do termo misto por
.]
Passo 4
Agora igualamos a expansão geral com a forma dada. Temos
Igualando coeficientes:
Portanto
Passo 5
Escrevendo a matriz
encontramos
Verificação rápida (para reforçar a ideia): calcule
com essa
:
que bate com a forma dada. Legal — a matriz simétrica é única para essa forma.]
Passo 6
Resumo e dica para a prova: para converter uma forma quadrática em
para sua matriz simétrica associada, escreva a forma como soma de
e
e use a regra
Ou seja, divida o coeficiente do termo misto por
para obter
. Isso evita erros bobos na hora da prova.