Suponha 0<c<1. Se m \geq n, m, n \in N, mostre que 0<c^{m} \leq c^{n}<1.

Passo 1

O enunciado dá as hipóteses e pede uma desigualdade simples. Especificamente:
  • Dado \,0<c<1.
  • Dados m,n\in\mathbb{N} tais que m\ge n.
  • Mostrar que \,0<c^{m}\le c^{n}<1.
Observação útil que usarei depois: como m\ge n, o expoente m-n é um inteiro não negativo (isto é, m-n\in\mathbb{N}_0).

Passo 2

Primeiro vou provar que potências de c são positivas: para todo k\in\mathbb{N} tem-se \,c^{k}>0.
  • Base: para k=1 vale \,c^{1}=c>0 por hipótese.
  • Passo indutivo: suponha \,c^{k}>0. Então
c^{k+1}=c^{k}\cdot c>0\cdot c=0,
pois produto de dois números positivos é positivo. Assim, por indução, c^{k}>0 para todo k\in\mathbb{N}.
(Também lembramos que por definição usual c^{0}=1>0.)

Passo 3

Agora mostro que, para todo k\in\mathbb{N}, tem-se \,c^{k}<1.
  • Base: para k=1 tem-se \,c^{1}=c<1 por hipótese.
  • Passo indutivo: suponha \,c^{k}<1. Então
c^{k+1}=c^{k}\cdot c < 1\cdot c = c < 1,
porque c^{k}<1 e c<1. Assim, por indução, c^{k}<1 para todo k\in\mathbb{N}.
(Nota: para k=0 temos c^{0}=1, então c^{k}\le1 para todo k\in\mathbb{N}_0.)

Passo 4

Usando a hipótese m\ge n escrevo a potência maior em função da menor:
c^{m}=c^{n}\,c^{\,m-n}.
Como m-n\in\mathbb{N}_0, pelo que vimos em

Passo 5

c^{m}=c^{n}\,c^{\,m-n}\le c^{n}\cdot 1 = c^{n}.

Passo 6

Juntando os resultados:
  • De

Passo 7

  • De

Passo 8

  • De

Passo 9

Portanto
0<c^{m}\le c^{n}<1.
Além disso, se m>n então m-n\ge1 e c^{m-n}<1, o que dá a desigualdade estrita c^{m}<c^{n}; se m=n então c^{m}=c^{n}.

Resposta

0<c^{m}\le c^{n}<1

Exercícios relacionados