Suponha
. Se
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as hipóteses e pede uma desigualdade simples. Especificamente:
- Dado
. - Dados
tais que . - Mostrar que
.
Observação útil que usarei depois: como
, o expoente
é um inteiro não negativo (isto é,
).
Passo 2
Primeiro vou provar que potências de
são positivas: para todo
tem-se
.
- Base: para
vale por hipótese. - Passo indutivo: suponha
. Então
pois produto de dois números positivos é positivo. Assim, por indução,
para todo
.
(Também lembramos que por definição usual .)
(Também lembramos que por definição usual
Passo 3
Agora mostro que, para todo
, tem-se
.
- Base: para
tem-se por hipótese. - Passo indutivo: suponha
. Então
porque
e
. Assim, por indução,
para todo
.
(Nota: para temos
, então
para todo
.)
(Nota: para
Passo 4
Usando a hipótese
escrevo a potência maior em função da menor:
Como
, pelo que vimos em
Passo 5
Passo 6
Juntando os resultados:
- De
Passo 7
- De
Passo 8
- De
Passo 9
Portanto
Além disso, se
então
e
, o que dá a desigualdade estrita
; se
então
.