Suponha que para cada ponto
do sólido
a densidade é dada por
. Determine a massa do sólido
.
Passo 1
O enunciado pede a massa do sólido
com densidade
. Vamos usar integração tripla em coordenadas cilíndricas, pois o domínio é um hemisfério de raio 1.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos
com
,
,
, e o elemento de volume
Assim, a massa é
Passo 3
Primeiro integramos em
:
Logo
Passo 4
Separamos a integral em duas:
Passo 5
Para a primeira usamos
,
:
Para a segunda:
Passo 6
Somando as duas partes:
Multiplicando pelo fator angular
obtemos
Resposta
A massa do sólido é
gramas.