Suponha que para cada ponto (x, y, z) do sólido D=(x, y, z) ; 0 <= z <= raiz1-(x^2+y^2) a densidade é dada por de<a(x, y, z)=(1+z) g / cm^3. Determine a massa do sólido D.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
D = (x,y,z)mid 0 <= z <= raiz1 - (x^2 + y^2)
com densidade de<a(x,y,z)=1+z. Vamos usar integração tripla em coordenadas cilíndricas, pois o domínio é um hemisfério de raio 1.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=raiz1-r^2, e o elemento de volume
dV = r,dz,dr,dtheta
Assim, a massa é
massa = integral triplaD(1+z),dV = integral0^2pi!integral0^1!integral0^raiz1-r^2(1+z),r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integral0^raiz1-r^2(1+z),dz = l[z + tfracz^22r]0^raiz1-r^2 = raiz1-r^2 + tfrac1-r^22
Logo
massa = integral0^2pi!integral0^1l(raiz1-r^2 + tfrac1-r^22r)r,dr,dtheta

Passo 4

Separamos a integral em duas:
integral0^1rraiz1-r^2,dr e integral0^1rcdottfrac1-r^22,dr

Passo 5

Para a primeira usamos u=1-r^2, du=-2r,dr:
integral0^1rraiz1-r^2,dr =tfrac12integral1^0u^1/2(-du) =tfrac12integral0^1u^1/2du =tfrac12cdottfrac23 =tfrac13
Para a segunda:
integral0^1tfracr(1-r^2)2,dr =tfrac12l[tfracr^22-tfracr^44r]0^1 =tfrac12l(tfrac12-tfrac14r) =tfrac18

Passo 6

Somando as duas partes:
integral0^1l(raiz1-r^2+tfrac1-r^22r)r,dr =tfrac13+tfrac18 =tfrac1124
Multiplicando pelo fator angular 2pi obtemos
massa = 2picdottfrac1124 =tfrac11pi12

Resposta

A massa do sólido é 11pi12 gramas.

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