Suponha que um carro se movimente na estrada pela função posição
durante o período [ 0,4 ]. Qual a velociade média do carro no decorrer de toda a viagem? Qual será a velocidade marcada no velocímetro no instante
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um carro que se movimenta de acordo com a função posição $ S(t) = 20 t^{2} + 3 $ no intervalo de tempo de 0 a 4 segundos. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a velocidade média durante toda a viagem e a velocidade no exato momento quando $ t = 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como taxa de variação e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade média. A velocidade média é basicamente a variação da posição dividida pelo tempo total. Matematicamente, é dada por:
Aqui, $ t_{inicial} = 0 $ e $ t_{final} = 4 $.
Passo 3
Vamos calcular $ S(4) $ e $ S(0) $:
Passo 4
Agora, aplicamos esses valores na fórmula da velocidade média:
Passo 5
Para achar a velocidade no instante $ t = 2 $, precisamos encontrar a derivada da função posição, que nos dá a função velocidade. A derivada de $ S(t) $ em relação a $ t $ é:
Passo 6
Agora, substituímos $ t = 2 $ na função de velocidade:
Resposta
A velocidade média do carro durante toda a viagem é de 80 unidades de posição por segundo, e a velocidade mostrada no velocímetro no instante $ t = 2 $ também é de 80 unidades de posição por segundo.