Q12:A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} 40 & 13 & -16 \\\\ -5 & 40 & 20 \\\\ 20 & -16 & 37 \end{array}\right]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -\frac{3}{4}
(B) \frac{3}{5}
(C) -\frac{4}{5}
(D) -\frac{1}{2}
(E) \frac{1}{2}
(F) -\frac{3}{5}
(G) \frac{3}{4}
(H) \frac{4}{5}
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado fornece a matriz de rotação
R=\frac{1}{45}\begin{pmatrix} 40 & 13 & -16\\\\ -5 & 40 & 20\\\\ 20 & -16 & 37 \end{pmatrix}
em \mathbb{R}^3 e pede o valor de \cos\theta, onde \theta é o ângulo de rotação em torno do seu eixo. Para isso, vamos primeiro achar a direção do eixo (autovetor de autovalor 1) e depois medir o ângulo girado por um vetor ortogonal a esse eixo.

Passo 2

Para achar o eixo, resolvemos
(R - I)v = 0.
Multiplicando por 45 para evitar frações, obtemos o sistema
\begin{cases} -5v_1 + 13v_2 -16v_3 = 0,\\\\ -5v_1 -5v_2 +20v_3 = 0,\\\\ 20v_1 -16v_2 -8v_3 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem v_2=2v_3 e então da primeira v_1=2v_3. Logo um autovetor é
v = (2,2,1),
que define o eixo de rotação.

Passo 3

Escolhemos um vetor u ortogonal ao eixo, por exemplo
u = (1,-1,0),
pois 2\cdot1+2\cdot(-1)+1\cdot0=0. Agora calculamos
Ru = \frac{1}{45}\begin{pmatrix} 40\cdot1 +13\cdot(-1) -16\cdot0\\\\ -5\cdot1 +40\cdot(-1) +20\cdot0\\\\ 20\cdot1 -16\cdot(-1) +37\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5\\\\ -1\\\\ 4/5 \end{pmatrix}.

Passo 4

O cosseno do ângulo \theta é dado por
\cos\theta = \frac{u\cdot (Ru)}{\|u\|\,\|Ru\|}.
Calculamos \|u\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt2 e
\|Ru\|=\sqrt{(3/5)^2+(-1)^2+(4/5)^2}=\sqrt2. Além disso
u\cdot (Ru) = 1\cdot\frac{3}{5} + (-1)\cdot(-1) + 0\cdot\frac{4}{5} = \frac{3}{5}+1 = \frac{8}{5}.
Logo
\cos\theta = \frac{\tfrac{8}{5}}{\sqrt2\,\sqrt2} = \frac{\tfrac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5}.

Resposta

(H) \displaystyle \frac{4}{5}

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