Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há
de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de
. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado pede: “Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?”\n
Informações dadas (todas listadas explicitamente):
Informações dadas (todas listadas explicitamente):
- Num dia qualquer só podem ocorrer duas possibilidades: ensolarado (vou chamar de
) ou chuvoso (vou chamar de ). - Se hoje é ensolarado, a probabilidade de amanhã também ser ensolarado é
(ou ). - Se hoje é chuvoso, a probabilidade de amanhã ser chuvoso é
(ou ).\n
Nada mais é dado (não foi especificado o tempo de referência além de “daqui a 20 anos”). A resolução vai usar as informações acima sem pedir nada extra.
Passo 2
Modelagem e explicação do método (passo didático): vamos modelar o problema como um processo que evolve dia a dia, em que o tempo avança em passos iguais (um passo = um dia) e as transições entre
e
têm probabilidades fixas dadas. Esse tipo de processo tem uma matriz de transição que reúne as probabilidades “de hoje para amanhã”. Vou construir e explicar essa matriz passo a passo.\n
Definição da matriz de transição : tomo a ordem dos estados como
(linha/coluna 1) e
(linha/coluna 2). A linha correspondente ao estado atual contém as probabilidades de ir para cada estado amanhã. Assim:
Definição da matriz de transição
Explicação das entradas: a primeira linha vem da informação “se faz sol em um dia, há
de chance de fazer sol no dia seguinte”, então
e
. A segunda linha vem de "dias chuvosos se sucedem com probabilidade
", então
e
.]
Passo 3
Conceito-chave que vamos usar e por quê (didático): Muitas vezes, após muitos passos, a probabilidade de estar em
ou
tende a uma distribuição fixa que não muda ao aplicar a matriz de transição — essa distribuição é chamada de distribuição estacionária
. Se a cadeia “mistura” bem (o que aqui acontece porque há chance positiva de mudar ou ficar), então, após um número grande de dias, a probabilidade de sol no dia pedido fica muito próxima de
, independentemente do estado inicial. Vou calcular essa distribuição estacionária.\n
A equação que define é:
A equação que define
com a condição
Escrevendo a primeira coordenada explicitamente:
Isto diz: a probabilidade estacionária de estar em
é a soma das probabilidades de vir de
e permanecer em
mais vir de
e transitar para
.
Passo 4
Resolver as equações para
(contas passo a passo):
Da equação
Da equação
passo os termos com
para o mesmo lado:
Isolando
:
Agora uso a soma das probabilidades igual a
:
Logo
Essa é a forma exata; convertendo em decimal:
ou seja cerca de
.
Passo 5
Por que podemos usar
como resposta aproximada para “daqui a 20 anos”? (explicação e justificativa)
- A matriz
tem entradas positivas ( ) em todas as transições, logo a cadeia é irreducível (é possível ir de qualquer estado a qualquer outro) e tem auto-transições positivas ( e ), o que garante que não há periodicidade problemática. Em linguagem simples: a cadeia “mistura” e converge para a distribuição estacionária independentemente do estado inicial. - A convergência ocorre geometricamente, com taxa dada pelo segundo autovalor da matriz. Para informação: os autovalores de
são (sempre presente) e . Isso significa que desvios em relação à decaem como após passos (dias). - “Daqui a 20 anos” equivale a muitos passos (aprox.
dias, se você quiser ser concreto). Então é absurdamente pequeno — praticamente zero — o que torna a probabilidade praticamente igual a . Em outras palavras, depois de milhares de dias a cadeia já “esqueceu” o estado inicial.
Passo 6
Conclusão numérica e aproximação para escolha da alternativa: a probabilidade aproximada de estar ensolarado muito tempo depois é
Portanto a alternativa correta é a que corresponde a aproximadamente
.
Resposta
(D)