Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 10 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 20 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 44.1 \%
(B) 45.1 \%
(C) 46.1 \%
(D) 47.1 \%

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?”\n
Informações dadas (todas listadas explicitamente):
  • Num dia qualquer só podem ocorrer duas possibilidades: ensolarado (vou chamar de S) ou chuvoso (vou chamar de R).
  • Se hoje é ensolarado, a probabilidade de amanhã também ser ensolarado é 0,10 (ou 10\%).
  • Se hoje é chuvoso, a probabilidade de amanhã ser chuvoso é 0,20 (ou 20\%).\n
    Nada mais é dado (não foi especificado o tempo de referência além de “daqui a 20 anos”). A resolução vai usar as informações acima sem pedir nada extra.

Passo 2

Modelagem e explicação do método (passo didático): vamos modelar o problema como um processo que evolve dia a dia, em que o tempo avança em passos iguais (um passo = um dia) e as transições entre S e R têm probabilidades fixas dadas. Esse tipo de processo tem uma matriz de transição que reúne as probabilidades “de hoje para amanhã”. Vou construir e explicar essa matriz passo a passo.\n
Definição da matriz de transição P: tomo a ordem dos estados como S (linha/coluna 1) e R (linha/coluna 2). A linha correspondente ao estado atual contém as probabilidades de ir para cada estado amanhã. Assim:
P=\begin{pmatrix} P(S\to S) & P(S\to R)\\[4pt] P(R\to S) & P(R\to R) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,10 & 0,90\\[4pt] 0,80 & 0,20 \end{pmatrix}.
Explicação das entradas: a primeira linha vem da informação “se faz sol em um dia, há 0,10 de chance de fazer sol no dia seguinte”, então P(S\to S)=0,10 e P(S\to R)=1-0,10=0,90. A segunda linha vem de "dias chuvosos se sucedem com probabilidade 0,20", então P(R\to R)=0,20 e P(R\to S)=1-0,20=0,80.]

Passo 3

Conceito-chave que vamos usar e por quê (didático): Muitas vezes, após muitos passos, a probabilidade de estar em S ou R tende a uma distribuição fixa que não muda ao aplicar a matriz de transição — essa distribuição é chamada de distribuição estacionária \pi. Se a cadeia “mistura” bem (o que aqui acontece porque há chance positiva de mudar ou ficar), então, após um número grande de dias, a probabilidade de sol no dia pedido fica muito próxima de \pi(S), independentemente do estado inicial. Vou calcular essa distribuição estacionária.\n
A equação que define \pi é:
\pi = \pi P,
com a condição
\pi(S)+\pi(R)=1.
Escrevendo a primeira coordenada explicitamente:
\pi(S)=\pi(S)\cdot 0,10+\pi(R)\cdot 0,80.
Isto diz: a probabilidade estacionária de estar em S é a soma das probabilidades de vir de S e permanecer em S mais vir de R e transitar para S.

Passo 4

Resolver as equações para \pi (contas passo a passo):
Da equação
\pi(S)=0,10\,\pi(S)+0,80\,\pi(R)
passo os termos com \pi(S) para o mesmo lado:
\pi(S)-0,10\,\pi(S)=0,80\,\pi(R)
0,90\,\pi(S)=0,80\,\pi(R).
Isolando \pi(R):
\pi(R)=\frac{0,90}{0,80}\,\pi(S)=\frac{9}{8}\,\pi(S).
Agora uso a soma das probabilidades igual a 1:
\pi(S)+\pi(R)=\pi(S)+\frac{9}{8}\pi(S)=\frac{17}{8}\pi(S)=1.
Logo
\pi(S)=\frac{8}{17}.
Essa é a forma exata; convertendo em decimal:
\pi(S)=\frac{8}{17}\approx 0,470588\ldots
ou seja cerca de 47,0588\%.

Passo 5

Por que podemos usar \pi(S) como resposta aproximada para “daqui a 20 anos”? (explicação e justificativa)
  • A matriz P tem entradas positivas ( >0) em todas as transições, logo a cadeia é irreducível (é possível ir de qualquer estado a qualquer outro) e tem auto-transições positivas ( P(S\to S)=0,10>0 e P(R\to R)=0,20>0), o que garante que não há periodicidade problemática. Em linguagem simples: a cadeia “mistura” e converge para a distribuição estacionária independentemente do estado inicial.
  • A convergência ocorre geometricamente, com taxa dada pelo segundo autovalor da matriz. Para informação: os autovalores de P são 1 (sempre presente) e -0,7. Isso significa que desvios em relação à \pi decaem como (-0,7)^n após n passos (dias).
  • “Daqui a 20 anos” equivale a muitos passos (aprox. 20\times 365\approx 7300 dias, se você quiser ser concreto). Então |-0,7|^{7300} é absurdamente pequeno — praticamente zero — o que torna a probabilidade praticamente igual a \pi(S). Em outras palavras, depois de milhares de dias a cadeia já “esqueceu” o estado inicial.

Passo 6

Conclusão numérica e aproximação para escolha da alternativa: a probabilidade aproximada de estar ensolarado muito tempo depois é
\pi(S)=\frac{8}{17}\approx 0,470588\ldots\approx 47,1\%.
Portanto a alternativa correta é a que corresponde a aproximadamente 47,1\%.

Resposta

(D) 47,1\%

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