Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x, y, z)=5 x^{2}-3 x y+ xyz.
a) Determine a taxa de variação do potencial em P=(3,4,5) na direção do vetor \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}.
b) Em que direção V varia mais rapidamente em P ?
c) Qual a taxa máxima de variação em P ?
Passo 1
O enunciado nos dá o potencial elétrico e pede três coisas. Informações fornecidas:
O potencial é V(x,y,z)=5x^{2}-3xy+xyz.
O ponto onde vamos avaliar é P=(3,4,5) (peguei este ponto do enunciado).
O vetor de direção da alínea (a) é \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} (peguei do enunciado).
Perguntas:
(a) Determinar a taxa de variação do potencial em P na direção de \vec{v}.
(b) Determinar em que direção, em P, o potencial V varia mais rapidamente.
(c) Determinar a taxa máxima de variação em P.
Passo 2
Entender as ferramentas que vamos usar (comexão intuitiva, sem pular etapas).
A taxa de variação de V numa direção unitária \mathbf{u} em um ponto é o derivada direcional, dada por produto escalar entre o gradiente de V e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}V(P)=\nabla V(P)\cdot \mathbf{u}.
O gradiente \nabla V é o vetor das derivadas parciais:
Intuição: \nabla V aponta na direção de maior aumento de V e seu módulo é a taxa máxima de aumento. Antes de calcular derivadas, lembrando que para derivada parcial em relação a uma variável tratamos as outras como constantes.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de V.
Para \partial V/\partial x: derivando termo a termo,
\partial(5x^{2})/\partial x=10x,
\partial(-3xy)/\partial x=-3y (porque -3y é constante em relação a x),
\partial(xyz)/\partial x=yz.
Logo,
\frac{\partial V}{\partial x}=10x-3y+yz.
Para \partial V/\partial y:
\partial(5x^{2})/\partial y=0,
\partial(-3xy)/\partial y=-3x,
\partial(xyz)/\partial y=xz.
Logo,
\frac{\partial V}{\partial y}=-3x+xz.
Para \partial V/\partial z:
Apenas o termo xyz depende de z, e \partial(xyz)/\partial z=xy.
Logo,