Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x, y, z)=5 x^{2}-3 x y+ xyz.
a) Determine a taxa de variação do potencial em P=(3,4,5) na direção do vetor \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}.
b) Em que direção V varia mais rapidamente em P ?
c) Qual a taxa máxima de variação em P ?

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial elétrico e pede três coisas. Informações fornecidas:
  • O potencial é V(x,y,z)=5x^{2}-3xy+xyz.
  • O ponto onde vamos avaliar é P=(3,4,5) (peguei este ponto do enunciado).
  • O vetor de direção da alínea (a) é \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} (peguei do enunciado).
Perguntas:
  • (a) Determinar a taxa de variação do potencial em P na direção de \vec{v}.
  • (b) Determinar em que direção, em P, o potencial V varia mais rapidamente.
  • (c) Determinar a taxa máxima de variação em P.

Passo 2

Entender as ferramentas que vamos usar (comexão intuitiva, sem pular etapas).
  • A taxa de variação de V numa direção unitária \mathbf{u} em um ponto é o derivada direcional, dada por produto escalar entre o gradiente de V e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}V(P)=\nabla V(P)\cdot \mathbf{u}.
  • O gradiente \nabla V é o vetor das derivadas parciais:
\nabla V=(\partial V/\partial x,\;\partial V/\partial y,\;\partial V/\partial z).
Intuição: \nabla V aponta na direção de maior aumento de V e seu módulo é a taxa máxima de aumento. Antes de calcular derivadas, lembrando que para derivada parcial em relação a uma variável tratamos as outras como constantes.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de V.
  • Para \partial V/\partial x: derivando termo a termo,
    • \partial(5x^{2})/\partial x=10x,
    • \partial(-3xy)/\partial x=-3y (porque -3y é constante em relação a x),
    • \partial(xyz)/\partial x=yz.
      Logo,
\frac{\partial V}{\partial x}=10x-3y+yz.
  • Para \partial V/\partial y:
    • \partial(5x^{2})/\partial y=0,
    • \partial(-3xy)/\partial y=-3x,
    • \partial(xyz)/\partial y=xz.
      Logo,
\frac{\partial V}{\partial y}=-3x+xz.
  • Para \partial V/\partial z:
    • Apenas o termo xyz depende de z, e \partial(xyz)/\partial z=xy.
      Logo,
\frac{\partial V}{\partial z}=xy.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(3,4,5).
  • Substituindo em \partial V/\partial x:
\left.\frac{\partial V}{\partial x}\right|_{P}=10\cdot 3 -3\cdot 4 + 4\cdot 5=30-12+20=38.
  • Substituindo em \partial V/\partial y:
\left.\frac{\partial V}{\partial y}\right|_{P}=-3\cdot 3 + 3\cdot 5=-9+15=6.
  • Substituindo em \partial V/\partial z:
\left.\frac{\partial V}{\partial z}\right|_{P}=3\cdot 4=12.
Portanto o gradiente em P é
\nabla V(P)=(38,6,12).

Passo 5

Resolver a alínea (a): derivada direcional na direção de \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}.
  • Primeiro precisamos do vetor unitário \mathbf{u} na direção de \vec{v}. O módulo de \vec{v} é
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3},
então
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
  • A derivada direcional é o produto escalar \nabla V(P)\cdot \mathbf{u}. Calculando:
D_{\mathbf{u}}V(P)= (38,6,12)\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) =\frac{1}{\sqrt{3}}(38+6+12)=\frac{56}{\sqrt{3}}.
Isso já é a taxa de variação pedida na alínea (a). (Se preferir forma racionalizada: \dfrac{56\sqrt{3}}{3}.)

Passo 6

Responder a alínea (b): direção de máximo crescimento em P.
  • Regra: a direção onde V cresce mais rapidamente em um ponto é a direção do gradiente \nabla V(P).
  • Assim a direção é dada pelo vetor (38,6,12). Normalizando para obter a direção como vetor unitário:
\text{direção de máximo crescimento}=\frac{(38,6,12)}{\sqrt{38^{2}+6^{2}+12^{2}}}.çãá
  • Podemos simplificar fatorando 2: (38,6,12)=2(19,3,6). Então o vetor unitário equivalente é
\frac{(19,3,6)}{\sqrt{406}},
pois 19^{2}+3^{2}+6^{2}=361+9+36=406. Essa é a direção unitária de máximo aumento.

Passo 7

Responder a alínea (c): taxa máxima de variação em P.
  • A taxa máxima é o módulo do gradiente em P:
\|\nabla V(P)\|=\sqrt{38^{2}+6^{2}+12^{2}}=\sqrt{1624}=2\sqrt{406}.
  • Aproximação numérica (se for útil): 2\sqrt{406}\approx 40{,}30.

Resposta

\displaystyle \frac{56}{\sqrt{3}}
\displaystyle \frac{(19,3,6)}{\sqrt{406}}
\displaystyle 2\sqrt{406}

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