Verifique se
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
para a função dada. A função fornecida é
Itens claros do enunciado:
- Função:
. - Pergunta: comparar as duas derivadas parciais mistas
e .
Passo 2
Lembrete rápido e ideia de cálculo (passo didático):
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , é obtida derivando em relação a mantendo constante. - A derivada parcial em relação a
, , é obtida derivando em relação a mantendo constante. - Para obter a derivada mista
calcula-se primeiro e depois deriva-se essa expressão em relação a ; alternativamente, para calcula-se primeiro e depois deriva-se em relação a . - Regras úteis: regra do produto e regra da cadeia para
. Aqui é uma função suave de .
Passo 3
Calcular
. Como
é tratado como constante, é útil escrever
como
Derivando em relação a
(produto com
, fator
é constante):
Explicando: a derivada de
em relação a
é
, então sobra o fator multiplicativo
.
Passo 4
Calcular
, ou seja, derivar
em relação a
. Temos
. Agora derivamos essa expressão em relação a
usando a regra do produto:
Portanto
Passo 5
Calcular
. Agora
é tratado como constante; escrevemos
. Aplicando a derivada em relação a
e a regra do produto à parte
:
Explicando:
sai como constante multiplicativa e a derivada de
é
.
Passo 6
Calcular
, isto é, derivar
em relação a
. Aqui
é tratado como constante (porque depende só de
), então
Explicando: a derivada de
em relação a
é
, ficando o fator
.
Passo 7
Comparação e observação teórica curta:
- Encontramos
As duas derivadas mistas coincidem explicitamente. Além disso, a expressão
é uma função contínua (na verdade infinitamente diferenciável) em todo
, o que confirma que as hipóteses usuais (continuidade das segundas derivadas parciais) que garantem a igualdade das derivadas mistas são satisfeitas aqui.