Verifique se \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} para as seguintes funções:
f(x, y)=x y e^{y}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} para a função dada. A função fornecida é
f(x,y)=x\,y\,e^{y}.
Itens claros do enunciado:
  • Função: f(x,y)=x\,y\,e^{y}.
  • Pergunta: comparar as duas derivadas parciais mistas \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}.

Passo 2

Lembrete rápido e ideia de cálculo (passo didático):
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é obtida derivando f em relação a x mantendo y constante.
  • A derivada parcial em relação a y, \dfrac{\partial f}{\partial y}, é obtida derivando f em relação a y mantendo x constante.
  • Para obter a derivada mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} calcula-se primeiro \dfrac{\partial f}{\partial y} e depois deriva-se essa expressão em relação a x; alternativamente, para \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} calcula-se primeiro \dfrac{\partial f}{\partial x} e depois deriva-se em relação a y.
  • Regras úteis: regra do produto e regra da cadeia para e^{y}. Aqui e^{y} é uma função suave de y.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}. Como y é tratado como constante, é útil escrever f como
f(x,y)=\bigl(y\,e^{y}\bigr)\cdot x.
Derivando em relação a x (produto com x, fator y e^{y} é constante):
\frac{\partial f}{\partial x}=y\,e^{y}.
Explicando: a derivada de x em relação a x é 1, então sobra o fator multiplicativo y e^{y}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}, ou seja, derivar \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a y. Temos \dfrac{\partial f}{\partial x}=y e^{y}. Agora derivamos essa expressão em relação a y usando a regra do produto:
\frac{d}{dy}\bigl(y e^{y}\bigr)=1\cdot e^{y}+y\cdot e^{y}=(1+y)e^{y}.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=(1+y)e^{y}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}. Agora x é tratado como constante; escrevemos f(x,y)=x\cdot\bigl(y e^{y}\bigr). Aplicando a derivada em relação a y e a regra do produto à parte y e^{y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\frac{d}{dy}\bigl(y e^{y}\bigr)=x\bigl(e^{y}+y e^{y}\bigr)=x(1+y)e^{y}.
Explicando: x sai como constante multiplicativa e a derivada de y e^{y} é e^{y}+y e^{y}.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, isto é, derivar \dfrac{\partial f}{\partial y}=x(1+y)e^{y} em relação a x. Aqui (1+y)e^{y} é tratado como constante (porque depende só de y), então
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=(1+y)e^{y}.
Explicando: a derivada de x em relação a x é 1, ficando o fator (1+y)e^{y}.

Passo 7

Comparação e observação teórica curta:
  • Encontramos
\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=(1+y)e^{y} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=(1+y)e^{y}.
As duas derivadas mistas coincidem explicitamente. Além disso, a expressão (1+y)e^{y} é uma função contínua (na verdade infinitamente diferenciável) em todo (x,y), o que confirma que as hipóteses usuais (continuidade das segundas derivadas parciais) que garantem a igualdade das derivadas mistas são satisfeitas aqui.

Resposta

\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=(1+y)e^{y}
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=(1+y)e^{y}

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