1^{\text {a }} QUESTÃO

(6 pontos) Responda as questões abaixo:
Determine se a função f, definida por
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{7 x^{2}+7 y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
é contínua em ( 0,0 ). Justifique!

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}}{7x^{2}+7y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que a questão pede: determinar se f é contínua em (0,0) e justificar a resposta.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A expressão de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{x^{3}}{7x^{2}+7y^{2}}.
  • O valor atribuído em (0,0) é f(0,0)=1.]

Passo 2

Vamos lembrar o que significa ser contínua em (0,0).
Definição (intuitiva e formal): a função f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
No sentido \varepsilon- \delta: existe limite L quando (x,y)\to(0,0) se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta (e (x,y)\neq(0,0)) temos |f(x,y)-L|<\varepsilon. Para continuidade precisamos que esse L seja exatamente f(0,0)=1.
Observação prática útil: para provar que a função NÃO é contínua em (0,0) basta mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
não existe ou que existe e é diferente de f(0,0). Uma maneira simples é calcular o limite ao longo de uma curva particular (por exemplo a reta y=0); se o limite ao longo dessa curva for diferente de f(0,0), então f não é contínua.

Passo 3

Teste por uma curva simples: tomar y=0. Para x\neq0 temos
f(x,0)=\frac{x^{3}}{7x^{2}+7\cdot 0^{2}}=\frac{x^{3}}{7x^{2}}=\frac{x}{7}.
Então
\lim_{x\to 0} f(x,0)=\lim_{x\to0}\frac{x}{7}=0.
Logo, ao aproximar (x,y) de (0,0) pela reta y=0 o valor de f(x,y) tende a 0. Mas f(0,0)=1. Isto já mostra que o limite da função quando (x,y)\to(0,0) não pode ser igual a 1; portanto f não é contínua em (0,0).

Passo 4

Para reforçar (e aprender um argumento mais geral), mostro que, de facto, \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0. Isso explica por que qualquer reta através da origem dá limite 0 e por que o valor dado 1 está errado.
Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Observamos que |x|\le r. Para (x,y)\neq(0,0),
|f(x,y)|=\frac{|x|^{3}}{7(x^{2}+y^{2})}=\frac{|x|^{3}}{7r^{2}}\le\frac{r^{3}}{7r^{2}}=\frac{r}{7}.
Portanto
|f(x,y)-0|=|f(x,y)|\le\frac{r}{7}.
Dado qualquer \varepsilon>0, escolha \delta=7\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r<\delta, então
|f(x,y)-0|\le\frac{r}{7}<\frac{\delta}{7}=\varepsilon.
Isso mostra, pelo critério \varepsilon- \delta, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Como consequência, o limite existe e vale 0, diferente de f(0,0)=1.

Passo 5

Conclusão final: o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é 0, mas f(0,0)=1. Logo a função não é contínua em (0,0).
Força aí — essa questão costuma aparecer em provas justamente para checar se a pessoa lembra que o limite tem de coincidir com o valor da função no ponto. Aqui o valor dado no ponto é incompatible com o comportamento da expressão ao redor, então pronto: descontinuidade.

Resposta

Não. \;f não é contínua em (0,0), pois \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\neq1=f(0,0).

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