O que a questão pede: determinar se f é contínua em (0,0) e justificar a resposta.
Informações relevantes que temos do enunciado:
A expressão de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{x^{3}}{7x^{2}+7y^{2}}.
O valor atribuído em (0,0) é f(0,0)=1.]
Passo 2
Vamos lembrar o que significa ser contínua em (0,0).
Definição (intuitiva e formal): a função f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
No sentido \varepsilon-\delta: existe limite L quando (x,y)\to(0,0) se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta (e (x,y)\neq(0,0)) temos |f(x,y)-L|<\varepsilon. Para continuidade precisamos que esse L seja exatamente f(0,0)=1.
Observação prática útil: para provar que a função NÃO é contínua em (0,0) basta mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
não existe ou que existe e é diferente de f(0,0). Uma maneira simples é calcular o limite ao longo de uma curva particular (por exemplo a reta y=0); se o limite ao longo dessa curva for diferente de f(0,0), então f não é contínua.
Passo 3
Teste por uma curva simples: tomar y=0. Para x\neq0 temos
Logo, ao aproximar (x,y) de (0,0) pela reta y=0 o valor de f(x,y) tende a 0. Mas f(0,0)=1. Isto já mostra que o limite da função quando (x,y)\to(0,0) não pode ser igual a 1; portanto f não é contínua em (0,0).
Passo 4
Para reforçar (e aprender um argumento mais geral), mostro que, de facto, \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0. Isso explica por que qualquer reta através da origem dá limite 0 e por que o valor dado 1 está errado.
Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Observamos que |x|\le r. Para (x,y)\neq(0,0),
Isso mostra, pelo critério \varepsilon-\delta, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Como consequência, o limite existe e vale 0, diferente de f(0,0)=1.
Passo 5
Conclusão final: o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é 0, mas f(0,0)=1. Logo a função não é contínua em (0,0).
Força aí — essa questão costuma aparecer em provas justamente para checar se a pessoa lembra que o limite tem de coincidir com o valor da função no ponto. Aqui o valor dado no ponto é incompatible com o comportamento da expressão ao redor, então pronto: descontinuidade.
Resposta
Não. \;f não é contínua em (0,0), pois \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\neq1=f(0,0).