Verifique se \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} para as seguintes funções:
f(x, y)=x^{5} y^{4}-3 x^{2} y^{3}+2 x^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede: verificar se \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} para a função dada.
  • A função fornecida é f(x,y)=x^{5}y^{4}-3x^{2}y^{3}+2x^{2}.
  • Portanto, precisamos calcular explicitamente as duas derivadas mistas \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} e \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e comparar os resultados.

Passo 2

O que é derivada parcial e regras básicas que vou usar (aulas rápidas).
  • Derivada parcial em relação a x: ao calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e diferenciamos só em relação a x.
  • Derivada parcial em relação a y: ao calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e diferenciamos só em relação a y.
  • Regra do poder (power rule): para uma função u(t)=t^{n} tem-se u'(t)=n t^{n-1}. Essa regra vale componente a componente; se houver um fator constante, ele permanece: \dfrac{d}{dt}(c\cdot t^{n})=c\cdot n t^{n-1}.
  • Aplicando isso a termos do tipo x^{a}y^{b}:
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x^{a}y^{b}) = a x^{a-1} y^{b} (porque y^{b} é constante frente a x);
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x^{a}y^{b}) = b x^{a} y^{b-1} (porque x^{a} é constante frente a y).
Agora aplico essas regras para obter as derivadas de primeira ordem.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
  • Derivada parcial em relação a x:
    \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{5}y^{4}\bigr) -3\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}\bigr).
    Usando as regras:
    \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{5}y^{4}\bigr)=5x^{4}y^{4}, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=2x y^{3}, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}\bigr)=4x.
    Portanto
    \frac{\partial f}{\partial x}=5x^{4}y^{4}-3\cdot(2x y^{3})+4x =5x^{4}y^{4}-6x y^{3}+4x.
  • Derivada parcial em relação a y:
    \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{5}y^{4}\bigr) -3\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}\bigr).
    Usando as regras:
    \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{5}y^{4}\bigr)=4x^{5}y^{3}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=3x^{2}y^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}\bigr)=0.
    Portanto
    \frac{\partial f}{\partial y}=4x^{5}y^{3}-3\cdot(3x^{2}y^{2})+0 =4x^{5}y^{3}-9x^{2}y^{2}.

Passo 4

Calcular a derivada mista \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (primeiro em x, depois em y).
  • Já temos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=5x^{4}y^{4}-6x y^{3}+4x.
  • Agora derivamos isso em relação a y, tratando x como constante: \frac{\partial}{\partial y}\bigl(5x^{4}y^{4}\bigr)=5x^{4}\cdot 4y^{3}=20x^{4}y^{3},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-6x y^{3}\bigr)=-6x\cdot 3y^{2}=-18x y^{2},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x\bigr)=0.
  • Portanto \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} =20x^{4}y^{3}-18x y^{2}.(Nota: a notação \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} às vezes escreve-se na ordem dos diferenciais; o que importa é que aqui tomámos \partial/\partial x primeiro e depois \partial/\partial y.)

Passo 5

Calcular a derivada mista \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (primeiro em y, depois em x).
  • Já temos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=4x^{5}y^{3}-9x^{2}y^{2}.
  • Agora derivamos isso em relação a x, tratando y como constante: \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{5}y^{3}\bigr)=4\cdot 5x^{4}y^{3}=20x^{4}y^{3},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-9x^{2}y^{2}\bigr)=-9\cdot 2x y^{2}=-18x y^{2}.
  • Portanto \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} =20x^{4}y^{3}-18x y^{2}.

Passo 6

Comparação final e comentário teórico (Clairaut) — conclusão.
  • As duas derivadas mistas calculadas coincidem: \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} =20x^{4}y^{3}-18x y^{2}.
  • Breve justificativa teórica: para funções suaves (por exemplo polinômios), todas as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, e o teorema de Clairaut (ou Schwarz) garante que as derivadas mistas são iguais. Aqui a função é polinomial, então as derivadas existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}, logo a igualdade é esperada — e foi confirmada por cálculo direto.

Resposta

Sim. \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=20x^{4}y^{3}-18x y^{2}

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