Verifique se
para as seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- O enunciado pede: verificar se
para a função dada. - A função fornecida é
- Portanto, precisamos calcular explicitamente as duas derivadas mistas
e e comparar os resultados.
Passo 2
O que é derivada parcial e regras básicas que vou usar (aulas rápidas).
- Derivada parcial em relação a
: ao calcular tratamos como constante e diferenciamos só em relação a . - Derivada parcial em relação a
: ao calcular tratamos como constante e diferenciamos só em relação a . - Regra do poder (power rule): para uma função
tem-se . Essa regra vale componente a componente; se houver um fator constante, ele permanece: . - Aplicando isso a termos do tipo
: -
(porque é constante frente a ); -
(porque é constante frente a ).
-
Agora aplico essas regras para obter as derivadas de primeira ordem.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
-
Derivada parcial em relação a
: Usando as regras:Portanto -
Derivada parcial em relação a
: Usando as regras:Portanto
Passo 4
Calcular a derivada mista
(primeiro em
, depois em
).
- Já temos
. - Agora derivamos isso em relação a
, tratando como constante:
- Portanto
(Nota: a notação às vezes escreve-se na ordem dos diferenciais; o que importa é que aqui tomámos primeiro e depois .)
Passo 5
Calcular a derivada mista
(primeiro em
, depois em
).
- Já temos
. - Agora derivamos isso em relação a
, tratando como constante:
- Portanto
Passo 6
Comparação final e comentário teórico (Clairaut) — conclusão.
- As duas derivadas mistas calculadas coincidem:
- Breve justificativa teórica: para funções suaves (por exemplo polinômios), todas as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, e o teorema de Clairaut (ou Schwarz) garante que as derivadas mistas são iguais. Aqui a função é polinomial, então as derivadas existem e são contínuas em todo
, logo a igualdade é esperada — e foi confirmada por cálculo direto.
Resposta
Sim.