Suponha que clientes cheguem a um caixa eletrônico de um banco a uma taxa de 20 por hora. Caso um cliente tenha acabado de chegar:
Qual é a probabilidade de que o próximo cliente chegue dentro do limite de um intervalo de 3 minutos (ou seja, 0,05 hora)?

Passo 1

O enunciado descreve chegadas de clientes segundo um processo de Poisson com taxa lambda = 20 clientes por hora. Nesse processo, o tempo entre chegadas consecutivas (tempo de espera pelo próximo cliente) segue uma distribuição exponencial com parâmetro lambda. Queremos a probabilidade de que esse tempo de espera seja menor ou igual a 3 minutos, isto é, 0,05 hora.

Passo 2

Seja T o tempo até a próxima chegada. Como T é exponencial com parâmetro lambda, sua função de distribuição acumulada (CDF) é
P(T <= t) = 1 - e^-lambda,t

Passo 3

Basta substituir lambda = 20 e t = 0,05:
P(T <= 0,05) = 1 - e^-20 cdot 0,05 = 1 - e^-1

Resposta

1 - e^-1 approx 0,6321

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