Suponha que um comprador queira decidir se vai aceitar ou não um lote de itens. Para isso, ele retira uma amostra de tamanho n=20 do lote, e conta o número X de defeituosos. Qual a probabilidade de aceitar um lote quando: p=0,20 e a regra é aceitar o lote se X <= 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Temos um comprador que quer decidir se aceita ou não um lote de itens. Para isso, ele tira uma amostra de 20 itens ( n = 20) e conta quantos estão defeituosos ( X). A probabilidade de um item ser defeituoso é de 20% ( p = 0,20). A regra para aceitar o lote é que, na amostra, no máximo 1 item seja defeituoso ( X <= 1). Vamos usar a distribuição binomial para resolver esse problema, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos (no caso, itens defeituosos) em uma série de tentativas independentes.

Passo 2

A distribuição binomial é adequada aqui porque estamos lidando com um número fixo de tentativas (20 itens), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeituoso ou não), as tentativas são independentes, e a probabilidade de sucesso (item defeituoso) é constante em cada tentativa.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (20),
- $ k $ é o número de sucessos desejados (0 ou 1),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,20).

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de não encontrar nenhum item defeituoso ( X = 0):
P(X = 0) = binom200 (0,20)^0 (0,80)^20
Sabemos que:
binom200 = 1
E:
(0,20)^0 = 1
Então:
P(X = 0) = 1 times 1 times (0,80)^20
Calculando:
(0,80)^20 approx 0,0115
Portanto:
P(X = 0) approx 0,0115

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente um item defeituoso ( X = 1):
P(X = 1) = binom201 (0,20)^1 (0,80)^19
Sabemos que:
binom201 = 20
Então:
P(X = 1) = 20 times 0,20 times (0,80)^19
Calculando:
20 times 0,20 = 4
E:
(0,80)^19 approx 0,0143
Portanto:
P(X = 1) approx 4 times 0,0143 = 0,0572

Resposta

A probabilidade de aceitar o lote, ou seja, que no máximo 1 item seja defeituoso, é:
P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) approx 0,0115 + 0,0572 = 0,0687
Então, há aproximadamente 6,87% de chance de aceitar o lote.

Exercícios relacionados