Seja
com distribuição normal. Sabe-se que
e
. Qual é o desvio padrão de X?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal. O enunciado nos dá duas probabilidades:
- $ P(X < 25) = 0,82 $
- $ P(X > 20) = 0,70 $
Nosso objetivo é descobrir qual é o desvio padrão ($ \sigma $) dessa distribuição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal, como a tabela Z (que relaciona valores de probabilidade com o escore z) e as propriedades da média e do desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ P(X < 25) = 0,82 $ significa que 25 é o percentil 82 da distribuição normal. Da mesma forma, $ P(X > 20) = 0,70 $ significa que 20 é o percentil 30 (porque $ 1 - 0,70 = 0,30 $).
Vamos padronizar essas probabilidades para encontrar os respectivos escores z na tabela da normal padrão.
Passo 3
Consultando a tabela Z:
- Para $ P(X < 25) = 0,82 $, o escore z correspondente é aproximadamente $ z_1 = 0,915 $.
- Para $ P(X < 20) = 0,30 $, o escore z correspondente é aproximadamente $ z_2 = -0,524 $.
Esses escores nos ajudam a relacionar os valores de $ X $ com a média ($ \mu
\sigma $) da distribuição.
Passo 4
Agora, usamos a fórmula de padronização da distribuição normal:
Aplicando para cada caso:
- Para $ X = 25 $:
- Para $ X = 20 $:
Passo 5
Temos agora um sistema de duas equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar $ \sigma $.
Passo 6
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 7
Isolando $ \sigma $:
Resposta
O desvio padrão de $ X $ é aproximadamente $ \sigma = 3,47 $.