Seja X com distribuição normal. Sabe-se que P(X<25)=0,82 e P(X>20)=0,70. Qual é o desvio padrão de X?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal. O enunciado nos dá duas probabilidades:
  1. $ P(X < 25) = 0,82 $
  2. $ P(X > 20) = 0,70 $
Nosso objetivo é descobrir qual é o desvio padrão ($ \sigma $) dessa distribuição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal, como a tabela Z (que relaciona valores de probabilidade com o escore z) e as propriedades da média e do desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ P(X < 25) = 0,82 $ significa que 25 é o percentil 82 da distribuição normal. Da mesma forma, $ P(X > 20) = 0,70 $ significa que 20 é o percentil 30 (porque $ 1 - 0,70 = 0,30 $).
Vamos padronizar essas probabilidades para encontrar os respectivos escores z na tabela da normal padrão.

Passo 3

Consultando a tabela Z:
  • Para $ P(X < 25) = 0,82 $, o escore z correspondente é aproximadamente $ z_1 = 0,915 $.
  • Para $ P(X < 20) = 0,30 $, o escore z correspondente é aproximadamente $ z_2 = -0,524 $.
Esses escores nos ajudam a relacionar os valores de $ X $ com a média ($ \mu P(X < 25) = 0,82 ã \sigma $) da distribuição.

Passo 4

Agora, usamos a fórmula de padronização da distribuição normal:
z = X - musigma
Aplicando para cada caso:
  1. Para $ X = 25 $:
X = 25
  1. Para $ X = 20 $:
0,915 = 25 - musigma

Passo 5

Temos agora um sistema de duas equações:
25 - mu = 0,915 sigma 20 - mu = -0,524 sigma
Podemos resolver esse sistema para encontrar $ \sigma $.

Passo 6

Subtraindo a segunda equação da primeira:
(25 - mu) - (20 - mu) = 0,915 sigma - (-0,524 sigma)
5 = 1,439 sigma

Passo 7

Isolando $ \sigma $:
sigma

Resposta

O desvio padrão de $ X $ é aproximadamente $ \sigma = 3,47 $.

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