A oficina de manutenção de uma indústria pode atender até 4 casos de avarias de máquinas por dia. O número de avarias diárias segue distribuição de Poisson de média 3. Se houver mais de 4 avarias a máquina tem que esperar até surgir uma vaga na oficina. Qual a probabilidade de que o número de máquinas avariadas em um dia seja entre 2 (incluso) e 5 (incluso)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma oficina que pode consertar até 4 máquinas por dia, e o número de máquinas que quebram por dia segue uma distribuição de Poisson com média 3. A gente precisa descobrir a probabilidade de ter entre 2 e 5 máquinas quebradas em um dia. Para isso, vamos usar a distribuição de Poisson e algumas fórmulas básicas de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos acontecendo em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente $ k $ eventos acontecerem é:
Aqui, $ \lambda $ é a média de eventos (no nosso caso, 3), $ e $ é a base dos logaritmos naturais, e $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade para cada número de máquinas quebradas de 2 a 5.
Para $ k = 2 $:
Para $ k = 3 $:
Para $ k = 4 $:
Para $ k = 5 $:
Passo 4
Agora, vamos somar todas essas probabilidades para encontrar a probabilidade de ter entre 2 e 5 máquinas quebradas:
Substituindo os valores que calculamos:
Vamos simplificar isso:
Convertendo tudo para um denominador comum (40):
Simplificando:
Resposta
A probabilidade de que o número de máquinas avariadas em um dia seja entre 2 e 5 é aproximadamente 0,263, ou 26,3%.