A oficina de manutenção de uma indústria pode atender até 4 casos de avarias de máquinas por dia. O número de avarias diárias segue distribuição de Poisson de média 3. Se houver mais de 4 avarias a máquina tem que esperar até surgir uma vaga na oficina. Qual a probabilidade de que o número de máquinas avariadas em um dia seja entre 2 (incluso) e 5 (incluso)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma oficina que pode consertar até 4 máquinas por dia, e o número de máquinas que quebram por dia segue uma distribuição de Poisson com média 3. A gente precisa descobrir a probabilidade de ter entre 2 e 5 máquinas quebradas em um dia. Para isso, vamos usar a distribuição de Poisson e algumas fórmulas básicas de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos acontecendo em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente $ k $ eventos acontecerem é:
k
Aqui, $ \lambda $ é a média de eventos (no nosso caso, 3), $ e $ é a base dos logaritmos naturais, e $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade para cada número de máquinas quebradas de 2 a 5.
Para $ k = 2 $:
k = 2
Para $ k = 3 $:
P(X = 2) = e^-3 cdot 3^22! = e^-3 cdot 92 = 9e^-32
Para $ k = 4 $:
k = 3
Para $ k = 5 $:
P(X = 3) = e^-3 cdot 3^33! = e^-3 cdot 276 = 27e^-36 = 9e^-32

Passo 4

Agora, vamos somar todas essas probabilidades para encontrar a probabilidade de ter entre 2 e 5 máquinas quebradas:
P(2 <= X <= 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
Substituindo os valores que calculamos:
P(2 <= X <= 5) = 9e^-32 + 9e^-32 + 27e^-38 + 81e^-340
Vamos simplificar isso:
P(2 <= X <= 5) = 9e^-3 + 27e^-38 + 81e^-340
Convertendo tudo para um denominador comum (40):
P(2 <= X <= 5) = 360e^-340 + 135e^-340 + 81e^-340 = 576e^-340
Simplificando:
P(2 <= X <= 5) = 144e^-310 = 14,4e^-3

Resposta

A probabilidade de que o número de máquinas avariadas em um dia seja entre 2 e 5 é aproximadamente 0,263, ou 26,3%.

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