Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3, P3(x), em torno de a= pi / 6, da função f(x)=sen x. Estime o erro cometido quando usamos P3(pi / 5) como uma aproximação de sen(pi / 5).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 3 de f(x)=sen x em torno de a=π/6 e uma estimativa do erro ao usar P₃(π/5) para aproximar sen(π/5). Vamos usar a definição de polinômio de Taylor e a forma de resto de Lagrange.

Passo 2

Para montar P₃(x), calculamos f(a), f′(a), f″(a) e f‴(a). Como f(x)=sen x, temos:
f(x)=sin x, f(x)=cos x, f(x)=-sin x, f(x)=-cos x
Em a=π/6:
f(a)=1/2, f(a)=raiz3/2, f(a)=-1/2, f(a)=-raiz3/2

Passo 3

A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 3 é:
$$P_{3}(x)=f(a)+f′(a)(x-a)+\frac{f″(a)}{2!}(x-a){2}+\frac{f‴(a)}{3!}(x-a){3}.
P3(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)2!(x-a)^2+f(a)3!(x-a)^3 P_{3}(x)=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}(x-\tfrac{\pi}{6})-\frac{1/2}{2}(x-\tfrac{\pi}{6}){2}-\frac{\sqrt3/2}{6}(x-\tfrac{\pi}{6}){3}.
P3(x)=12+raiz32(x-tfracpi6)-1/22(x-tfracpi6)^2-raiz3/26(x-tfracpi6)^3 P_{3}(x)=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}(x-\tfrac{\pi}{6})-\frac14(x-\tfrac{\pi}{6}){2}-\frac{\sqrt3}{12}(x-\tfrac{\pi}{6}){3}.
$$

Passo 4

Para estimar o erro usamos o termo de resto na forma de Lagrange:
R3(x)=f^(4)(ξ)4!(x-a)^4, f^(4)(x)=sin x
Como |sin ξ|≤1, obtemos o majorante
$$|R_{3}(π/5)|\le\frac{|π/5-π/6|^{4}}{4!}= rac{(π/30){4}}{24}\approx5\times10{-6}.
$$

Resposta

P3(x)=12+raiz32(x-tfracpi6)-14(x-tfracpi6)^2-raiz312(x-tfracpi6)^3,
Erro máximo estimado:
|R3(π/5)|<=(π/30)^424approx5times10^-6

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