Calcule o polinômio de Taylor de ordem
, em torno de
, da função
. Estime o erro cometido quando usamos
como uma aproximação de
.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 3 de f(x)=sen x em torno de a=π/6 e uma estimativa do erro ao usar P₃(π/5) para aproximar sen(π/5). Vamos usar a definição de polinômio de Taylor e a forma de resto de Lagrange.
Passo 2
Para montar P₃(x), calculamos f(a), f′(a), f″(a) e f‴(a). Como f(x)=sen x, temos:
Em a=π/6:
Passo 3
A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 3 é:
$$P_{3}(x)=f(a)+f′(a)(x-a)+\frac{f″(a)}{2!}(x-a){2}+\frac{f‴(a)}{3!}(x-a){3}.
$$
Passo 4
Para estimar o erro usamos o termo de resto na forma de Lagrange:
Como |sin ξ|≤1, obtemos o majorante
$$|R_{3}(π/5)|\le\frac{|π/5-π/6|^{4}}{4!}=rac{(π/30){4}}{24}\approx5\times10{-6}.
$$
Resposta
Erro máximo estimado: