Dado o PVI abaixo
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-y\left(\operatorname{sen} x^{2}\right) \\\ y(0.0)=-1.0 \end{array}\right.
Resolva por Euler em I=[0.0,0.6] dando m=3 passos.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y'=-y\sin(x^2),\\\ y(0)= -1, \end{cases}
em I=[0,0.6], e pede a aproximação pelo método de Euler explícito com m=3 passos. Vamos usar a fórmula
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde f(x,y)=-y\sin(x^2).

Passo 2

O tamanho do passo é
h=\frac{0{,}6-0}{3}=0{,}2.
Definimos x_0=0 e y_0=-1.

Passo 3

Para n=0:
x_1=x_0+h=0+0{,}2=0{,}2,
f(x_0,y_0)=-(-1)\sin(0^2)=\sin(0)=0,
y_1=y_0 + 0{,}2\cdot 0 = -1.

Passo 4

Para n=1:
x_2=x_1+h=0{,}2+0{,}2=0{,}4,
f(x_1,y_1)=-(-1)\sin(0{,}2^2)=\sin(0{,}04)\approx0{,}0399893,
y_2=y_1 + 0{,}2\cdot0{,}0399893\approx -1 +0{,}0079979 = -0{,}9920021.

Passo 5

Para n=2:
x_3=x_2+h=0{,}4+0{,}2=0{,}6,
f(x_2,y_2)=-\bigl(-0{,}9920021\bigr)\sin(0{,}4^2) =0{,}9920021\sin(0{,}16)\approx0{,}1573966,
y_3=y_2 + 0{,}2\cdot0{,}1573966\approx -0{,}9920021 +0{,}0314793 = -0{,}9605228.

Resposta

As aproximações pelo método de Euler em I=[0,0.6] com m=3 são:
(x_0,y_0)=(0{,}0,\,-1{,}0000),\quad (x_1,y_1)=(0{,}2,\,-1{,}0000),\quad (x_2,y_2)=(0{,}4,\,-0{,}9920),\quad (x_3,y_3)=(0{,}6,\,-0{,}9605).

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