Suponha que o conjunto solução de certo sistema de equações possa ser descrito como x1=5+4 x3, x2=-2-7 x3, com x3 livre. Use vetores para descrever este conjunto como uma reta em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um sistema de equações cujo conjunto solução é descrito por:
x1 = 5 + 4x3, x2 = -2 - 7x3
com x3 sendo livre, ou seja, pode assumir qualquer valor. A matéria que vamos usar aqui é a representação vetorial de conjuntos solução de sistemas lineares, especificamente como uma reta em R^3. Para resolver, vamos precisar transformar essas equações paramétricas em uma forma vetorial que descreva a reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o parâmetro livre, que neste caso é x3. Vamos chamar esse parâmetro de t para facilitar. Assim:
x3 = t
Agora, podemos reescrever as outras variáveis em termos de t:
x1 = 5 + 4t
x2 = -2 - 7t

Passo 3

Agora, vamos organizar essas expressões em forma vetorial. A ideia é expressar o vetor posição (x1, x2, x3) como uma soma de um vetor fixo e um múltiplo de outro vetor que indica a direção da reta. Assim:
x1 x2 x3 = 5 -2 0 + t 4 -7 1
Aqui, 5 -2 0 é um ponto fixo na reta e 4 -7 1 é o vetor diretor da reta.

Passo 4

Para confirmar, vamos ver se essa representação faz sentido. Ao variar t, obtemos todos os pontos que satisfazem as equações originais:
  • Para t = 0, temos o ponto (5, -2, 0).
  • Para t = 1, temos o ponto (9, -9, 1), e assim por diante.
    Isso mostra que a reta passa pelo ponto (5, -2, 0) e segue na direção do vetor (4, -7, 1).

Resposta

O conjunto solução pode ser descrito vetorialmente como:
x1 x2 x3 = 5 -2 0 + t 4 -7 1 , t in R

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