Suponha que o conjunto solução de certo sistema de equações possa ser descrito como , , com livre. Use vetores para descrever este conjunto como uma reta em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um sistema de equações cujo conjunto solução é descrito por:
com sendo livre, ou seja, pode assumir qualquer valor. A matéria que vamos usar aqui é a representação vetorial de conjuntos solução de sistemas lineares, especificamente como uma reta em . Para resolver, vamos precisar transformar essas equações paramétricas em uma forma vetorial que descreva a reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o parâmetro livre, que neste caso é . Vamos chamar esse parâmetro de para facilitar. Assim:
Agora, podemos reescrever as outras variáveis em termos de :
Passo 3
Agora, vamos organizar essas expressões em forma vetorial. A ideia é expressar o vetor posição como uma soma de um vetor fixo e um múltiplo de outro vetor que indica a direção da reta. Assim:
Aqui, 5 -2 0 é um ponto fixo na reta e 4 -7 1 é o vetor diretor da reta.
Passo 4
Para confirmar, vamos ver se essa representação faz sentido. Ao variar t, obtemos todos os pontos que satisfazem as equações originais:
Para t = 0, temos o ponto (5, -2, 0).
Para t = 1, temos o ponto (9, -9, 1), e assim por diante.
Isso mostra que a reta passa pelo ponto (5, -2, 0) e segue na direção do vetor (4, -7, 1).
Resposta
O conjunto solução pode ser descrito vetorialmente como: