Descreva e compare os conjuntos solução de x1- 3 x2+5 x3=0 e x1-3 x2+5 x3=4.

Passo 1

O enunciado nos dá duas equações lineares em R^3:
x1-3x2+5x3=0
e
x1-3x2+5x3=4
Vamos descrever cada conjunto solução por parametrização de um plano em R^3 e depois comparar suas propriedades (subespaço vetorial vs plano afim).

Passo 2

Para o sistema homogêneo
x1-3x2+5x3=0
tomamos parâmetros s=x2 e t=x3. Da equação segue
x1=3s-5t
Assim a solução geral é
S0=(x1,x2,x3) = s(3,1,0) + t(-5,0,1) mid s,tinR,
que é um subespaço vetorial de dimensão 2 (contém a origem e é fechado sob soma e multiplicação escalar).

Passo 3

Para o sistema não homogêneo
x1-3x2+5x3=4
basta achar uma solução particular. Escolhendo x2=0 e x3=0 temos x1=4, ou seja
p=(4,0,0)
é solução particular. A solução geral é a translação de S0 por p:
S1 = p + S0 = (4,0,0) + s(3,1,0) + t(-5,0,1)mid s,tinR
Isso define um plano afim de dimensão 2, paralelo a S0, mas que não contém a origem.

Passo 4

Comparando:
  • S0 é um subespaço vetorial de dimensão 2 (origem incluída).
  • S1 é um plano afim de dimensão 2, obtido por translação de S0, logo paralelo a ele, porém não é um subespaço pois não contém a origem.

Resposta

O conjunto solução de x1-3x2+5x3=0 é
,s(3,1,0)+t(-5,0,1)mid s,tinR,
um subespaço vetorial de dimensão 2.
O conjunto solução de x1-3x2+5x3=4 é
(4,0,0)+s(3,1,0)+t(-5,0,1)mid s,tinR,
um plano afim de dimensão 2, paralelo ao anterior e que não contém a origem.

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