Suponha que o consumo diário de cachaça pelos alcoólatras de certa cidade seja normalmente distribuído com média 320 ml e desvio-padrão 50 ml . Selecionando ao acaso um alcoólatra desta cidade, determine a probabilidade de que ele tenha consumo diário:
maior que 360 ml ;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações relevantes:
  • A variável que descreve o consumo diário de cachaça é normalmente distribuída com média 320 ml e desvio-padrão 50 ml.
  • Selecionamos ao acaso um alcoólatra desta cidade (ou seja, uma observação da distribuição dada).
Pergunta do enunciado:
  • Determine a probabilidade de que o consumo diário seja maior que 360 ml, isto é, calcule \mathbb{P}(X>360).

Passo 2

Definição da variável e ideia do método (sem calcular ainda).
  • Vamos chamar a variável aleatória do consumo por dia de X.
  • O enunciado diz que X é normalmente distribuída com média \mu=320 e desvio-padrão \sigma=50. Escrevemos isso assim:
X \sim N(\mu,\sigma^{2}) = N(320,50^{2}).
  • Para calcular probabilidades com a normal, o procedimento padrão (e rápido na prova) é “padronizar” X para a variável normal padrão Z, que tem média 0 e desvio-padrão 1. A padronização usa a fórmula abaixo, que agora vou explicar.

Passo 3

Explicação da padronização (fórmula e significado das variáveis).
  • A fórmula para padronizar um valor x de X é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a variável original (consumo em ml),
  • \mu é a média de X ( 320 ml),
  • \sigma é o desvio-padrão de X ( 50 ml),
  • Z é a nova variável que segue a normal padrão N(0,1).
  • O motivo: a normal padrão tem tabelas (ou calculadora) que dão \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z). Assim transformamos o problema em algo que essas tabelas resolvem.

Passo 4

Aplicando a padronização ao valor pedido 360.
  • Queremos \mathbb{P}(X>360). Primeiro calculamos o correspondente z de 360 usando a fórmula:
z=\frac{360-\mu}{\sigma}=\frac{360-320}{50}.
  • Calcule passo a passo:
    • 360-320=40.
    • \dfrac{40}{50}=0{,}8.
      Logo o valor padronizado é z=0{,}8.

Passo 5

Transformar a probabilidade em termos de Z e usar a tabela da normal padrão.
  • Usando a padronização,
\mathbb{P}(X>360)=\mathbb{P}\bigg(\frac{X-\mu}{\sigma}>0{,}8\bigg)=\mathbb{P}(Z>0{,}8).
  • Nas tabelas de distribuição normal padrão costuma-se dar \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z). Então usamos a relação
\mathbb{P}(Z>0{,}8)=1-\Phi(0{,}8).

Passo 6

Valor numérico usando a tabela (ou calculadora) e interpretação.
  • Consultando a tabela da normal padrão (ou usando calculadora estatística), obtemos aproximadamente
\Phi(0{,}8)\approx 0{,}78814.
  • Portanto
\mathbb{P}(Z>0{,}8)=1-0{,}78814=0{,}21186.
  • Arredondando de forma prática para a prova, podemos dar \mathbb{P}(X>360)\approx 0{,}2119, que corresponde a cerca de 21{,}19\%.
  • Interpretação em palavras: aproximadamente 21 em cada 100 alcoólatras dessa cidade consomem mais do que 360 ml por dia.

Resposta

0,2119

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