Suponha que o consumo diário de cachaça pelos alcoólatras de certa cidade seja normalmente distribuído com média 320 ml e desvio-padrão 50 ml . Selecionando ao acaso um alcoólatra desta cidade, determine a probabilidade de que ele tenha consumo diário:
maior que 360 ml ;
maior que 360 ml ;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações relevantes:
- A variável que descreve o consumo diário de cachaça é normalmente distribuída com média
ml e desvio-padrão ml. - Selecionamos ao acaso um alcoólatra desta cidade (ou seja, uma observação da distribuição dada).
Pergunta do enunciado:
- Determine a probabilidade de que o consumo diário seja maior que
ml, isto é, calcule .
Passo 2
Definição da variável e ideia do método (sem calcular ainda).
- Vamos chamar a variável aleatória do consumo por dia de
. - O enunciado diz que
é normalmente distribuída com média e desvio-padrão . Escrevemos isso assim:
- Para calcular probabilidades com a normal, o procedimento padrão (e rápido na prova) é “padronizar”
para a variável normal padrão , que tem média e desvio-padrão . A padronização usa a fórmula abaixo, que agora vou explicar.
Passo 3
Explicação da padronização (fórmula e significado das variáveis).
- A fórmula para padronizar um valor
de é
Aqui:
-
é a variável original (consumo em ml), -
é a média de ( ml), -
é o desvio-padrão de ( ml), -
é a nova variável que segue a normal padrão . - O motivo: a normal padrão tem tabelas (ou calculadora) que dão
. Assim transformamos o problema em algo que essas tabelas resolvem.
Passo 4
Aplicando a padronização ao valor pedido
.
- Queremos
. Primeiro calculamos o correspondente de usando a fórmula:
- Calcule passo a passo:
-
. -
.
Logo o valor padronizado é.
-
Passo 5
Transformar a probabilidade em termos de
e usar a tabela da normal padrão.
- Usando a padronização,
- Nas tabelas de distribuição normal padrão costuma-se dar
. Então usamos a relação
Passo 6
Valor numérico usando a tabela (ou calculadora) e interpretação.
- Consultando a tabela da normal padrão (ou usando calculadora estatística), obtemos aproximadamente
- Portanto
- Arredondando de forma prática para a prova, podemos dar
, que corresponde a cerca de . - Interpretação em palavras: aproximadamente 21 em cada 100 alcoólatras dessa cidade consomem mais do que 360 ml por dia.