Questão 5. A distância percorrida por um carro em função do tempo é descrita por
onde
está em quilômetros e
em horas.
a) Encontre a taxa média de variação da distância no intervalo
.
b) Determine a taxa instantânea de variação no instante
.
a) Encontre a taxa média de variação da distância no intervalo
b) Determine a taxa instantânea de variação no instante
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
está em quilômetros e
em horas. As perguntas são:
- (a) Encontrar a taxa média de variação da distância no intervalo
. - (b) Determinar a taxa instantânea de variação no instante
.
As informações relevantes: a expressão de
e os pontos de tempo
,
para a parte (a) e
para a parte (b). A unidade pedida para as taxas será quilômetros por hora (km/h).
Passo 2
Entendendo o que é taxa média de variação (aula curtinha e prática). A taxa média de variação de
no intervalo
é o quociente incremental (a inclinação da secante):
Aqui temos
e
. Então devemos calcular
e
.
Passo 3
Calcular
e
. Usando a fórmula dada:
Portanto o numerador do quociente incremental é
.
Passo 4
Aplicar a fórmula da taxa média:
Isto já é uma forma exata e correta. Agora vamos dar uma aproximação numérica para ter uma noção prática. Usando
:
Arredondando,
. Essa é a velocidade média do carro entre
e
: se fosse constante, seria esse valor.
Passo 5
Agora, o que é taxa instantânea de variação? É a derivada
, isto é, o limite do quociente incremental quando o intervalo encolhe até zero:
Esse valor dá a velocidade do carro no instante
(km/h).
Passo 6
Vamos calcular
usando a definição e uma propriedade básica do logaritmo. Partindo de
Fatoramos:
Então
Faço a substituição
. Quando
temos
e
. Substituindo:
Conhecemos o limite fundamental
. Assim
Essa é a fórmula da taxa instantânea (velocidade) em função do tempo. Aqui usei a regra da cadeia de forma elementar: derivada de
é
.
Passo 7
Agora avalio a derivada no instante
:
Em valor numérico,
. Arredondando,
.
Passo 8
Interpretação curta e incentivo: a taxa média
é a velocidade média entre
e
. A taxa instantânea
dá a velocidade no instante
; em
o carro ia a
km/h. Mandou bem em procurar a resolução — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova.
Resposta
(a)
(b)
(b)