Questão 5. A distância percorrida por um carro em função do tempo é descrita por
d(t)=100 \ln (1+t), \quad t \geq 0,
onde d está em quilômetros e t em horas.
a) Encontre a taxa média de variação da distância no intervalo 0 \leq t \leq 3.
b) Determine a taxa instantânea de variação no instante t=2.

Passo 1

O enunciado dá a função
d(t)=100\ln(1+t),\qquad t\ge 0,
onde d está em quilômetros e t em horas. As perguntas são:
  • (a) Encontrar a taxa média de variação da distância no intervalo 0\le t\le 3.
  • (b) Determinar a taxa instantânea de variação no instante t=2.
As informações relevantes: a expressão de d(t) e os pontos de tempo t=0, t=3 para a parte (a) e t=2 para a parte (b). A unidade pedida para as taxas será quilômetros por hora (km/h).

Passo 2

Entendendo o que é taxa média de variação (aula curtinha e prática). A taxa média de variação de d(t) no intervalo [a,b] é o quociente incremental (a inclinação da secante):
\text{taxa média}=\frac{d(b)-d(a)}{b-a}.é
Aqui temos a=0 e b=3. Então devemos calcular d(3) e d(0).

Passo 3

Calcular d(0) e d(3). Usando a fórmula dada:
d(0)=100\ln(1+0)=100\ln 1=100\cdot 0=0.
d(3)=100\ln(1+3)=100\ln 4.
Portanto o numerador do quociente incremental é d(3)-d(0)=100\ln 4-0=100\ln 4.

Passo 4

Aplicar a fórmula da taxa média:
\text{taxa média}=\frac{d(3)-d(0)}{3-0}=\frac{100\ln 4}{3}.é
Isto já é uma forma exata e correta. Agora vamos dar uma aproximação numérica para ter uma noção prática. Usando \ln 4\approx 1,38629:
100\ln 4\approx 100\cdot 1,38629=138,629,
\frac{100\ln 4}{3}\approx \frac{138,629}{3}\approx 46,2097\\ \text{(km/h)}.
Arredondando, \approx 46,21\\ \text{km/h}. Essa é a velocidade média do carro entre t=0 e t=3: se fosse constante, seria esse valor.

Passo 5

Agora, o que é taxa instantânea de variação? É a derivada d'(t), isto é, o limite do quociente incremental quando o intervalo encolhe até zero:
d'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{d(t+h)-d(t)}{h}.
Esse valor dá a velocidade do carro no instante t (km/h).

Passo 6

Vamos calcular d'(t) usando a definição e uma propriedade básica do logaritmo. Partindo de
d'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{100\ln(1+t+h)-100\ln(1+t)}{h}=100\lim_{h\to 0}\frac{\ln\!\big(\dfrac{1+t+h}{1+t}\big)}{h}.
Fatoramos:
\frac{1+t+h}{1+t}=1+\frac{h}{1+t}.
Então
d'(t)=100\lim_{h\to 0}\frac{\ln\!\big(1+\dfrac{h}{1+t}\big)}{h}.
Faço a substituição u=\dfrac{h}{1+t}. Quando h\to 0 temos u\to 0 e h=(1+t)u. Substituindo:
d'(t)=100\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{(1+t)u}=\frac{100}{1+t}\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Conhecemos o limite fundamental \lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1. Assim
d'(t)=\frac{100}{1+t}.
Essa é a fórmula da taxa instantânea (velocidade) em função do tempo. Aqui usei a regra da cadeia de forma elementar: derivada de \ln(1+t) é \dfrac{1}{1+t}.

Passo 7

Agora avalio a derivada no instante t=2:
d'(2)=\frac{100}{1+2}=\frac{100}{3}.
Em valor numérico, \dfrac{100}{3}\approx 33,333\\ \text{km/h}. Arredondando, \approx 33,33\\ \text{km/h}.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: a taxa média \frac{100\ln 4}{3} é a velocidade média entre t=0 e t=3. A taxa instantânea 100/(1+t) dá a velocidade no instante t; em t=2 o carro ia a 100/3 km/h. Mandou bem em procurar a resolução — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova.

Resposta

(a) \dfrac{100\ln 4}{3}\\ \text{km/h}\approx 46,21\\ \text{km/h}
(b) \dfrac{100}{3}\\ \text{km/h}\approx 33,33\\ \text{km/h}

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