Suponha que o consumo diário de cachaça pelos alcoólatras de certa cidade seja normalmente distribuído com média 320 ml e desvio-padrão 50 ml . Selecionando ao acaso um alcoólatra desta cidade, determine a probabilidade de que ele tenha consumo diário:
entre 240 e 365 ml ;
entre 240 e 365 ml ;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única probabilidade.
- Informação: o consumo diário de cachaça, que chamaremos de
, é normalmente distribuído com média ml e desvio-padrão ml. - Pergunta: qual a probabilidade de que, selecionando ao acaso um alcoólatra, ele tenha consumo diário entre
e ml? Ou seja, queremos .
Passo 2
Por que transformar o problema? Trabalhar diretamente com a distribuição normal geral
é mais difícil do que usar a normal padrão. Então vamos converter
para a variável padrão
que tem média
e desvio-padrão
. Isso permite usar uma única tabela (ou calculadora) da distribuição normal padrão.
Passo 3
Definição da padronização: se
tem média
e desvio
, a variável padrão
é
Explicação: cada valor de
é deslocado por
(centralizado) e dividido por
(tornando a escala unitária). Assim
tem média
e desvio
. Em probabilidades,
.
Passo 4
Calculemos os escores
correspondentes aos pontos
e
.
Para
ml:
Para
ml:
Portanto a probabilidade pedida vira um intervalo para
:
Passo 5
Agora usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, que denomino por
. Então
Passo 6
Usamos a simetria da normal padrão para transformar
. A propriedade é
porque a curva é simétrica em torno de zero. Assim
Substituindo em cima:
Passo 7
Agora precisamos dos valores numéricos de
em
e
. Lendo uma tabela da normal padrão (ou usando calculadora estatística), obtemos os valores padrão:
(Se você usar uma tabela, procura a linha 0,9 e a linha 1,6; se usar calculadora, pede a CDF da normal padrão.)
Passo 8
Calcule a probabilidade final substituindo os valores:
Como porcentagem, isso é
.
Passo 9
Interpretação rápida e dica para a prova: a resposta significa que, escolhendo um alcoólatra ao acaso, há cerca de
de chance de seu consumo diário estar entre
e
ml. No exame, faça sempre a padronização
, calcule os
-scores e use a tabela
. Se faltar tabela, lembre que
e use simetria para valores negativos.