Suponha que o consumo diário de cachaça pelos alcoólatras de certa cidade seja normalmente distribuído com média 320 ml e desvio-padrão 50 ml . Selecionando ao acaso um alcoólatra desta cidade, determine a probabilidade de que ele tenha consumo diário:
entre 240 e 365 ml ;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única probabilidade.
  • Informação: o consumo diário de cachaça, que chamaremos de X, é normalmente distribuído com média \mu=320 ml e desvio-padrão \sigma=50 ml.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, selecionando ao acaso um alcoólatra, ele tenha consumo diário entre 240 e 365 ml? Ou seja, queremos P(240 \le X \le 365).

Passo 2

Por que transformar o problema? Trabalhar diretamente com a distribuição normal geral X\sim N(\mu,\sigma^2) é mais difícil do que usar a normal padrão. Então vamos converter X para a variável padrão Z que tem média 0 e desvio-padrão 1. Isso permite usar uma única tabela (ou calculadora) da distribuição normal padrão.

Passo 3

Definição da padronização: se X tem média \mu e desvio \sigma, a variável padrão Z é
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Explicação: cada valor de X é deslocado por \mu (centralizado) e dividido por \sigma (tornando a escala unitária). Assim Z tem média 0 e desvio 1. Em probabilidades, P(a\le X\le b)=P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\le Z\le\frac{b-\mu}{\sigma}\right).

Passo 4

Calculemos os escores z correspondentes aos pontos 240 e 365.
Para 240 ml:
\frac{240-\mu}{\sigma}=\frac{240-320}{50}=\frac{-80}{50}=-1,6.
Para 365 ml:
\frac{365-\mu}{\sigma}=\frac{365-320}{50}=\frac{45}{50}=0,9.
Portanto a probabilidade pedida vira um intervalo para Z:
P(240\le X\le 365)=P(-1,6\le Z\le 0,9).

Passo 5

Agora usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, que denomino por \Phi(t)=P(Z\le t). Então
P(-1,6\le Z\le 0,9)=\Phi(0,9)-\Phi(-1,6).

Passo 6

Usamos a simetria da normal padrão para transformar \Phi(-1,6). A propriedade é
\Phi(-a)=1-\Phi(a)\quad\text{para }a>0,
porque a curva é simétrica em torno de zero. Assim
\Phi(-1,6)=1-\Phi(1,6).
Substituindo em cima:
P(-1,6\le Z\le 0,9)=\Phi(0,9)-[1-\Phi(1,6)]=\Phi(0,9)+\Phi(1,6)-1.

Passo 7

Agora precisamos dos valores numéricos de \Phi em 0,9 e 1,6. Lendo uma tabela da normal padrão (ou usando calculadora estatística), obtemos os valores padrão:
\Phi(0,9)=0,8159,\qquad \Phi(1,6)=0,9452.
(Se você usar uma tabela, procura a linha 0,9 e a linha 1,6; se usar calculadora, pede a CDF da normal padrão.)

Passo 8

Calcule a probabilidade final substituindo os valores:
P(240\le X\le 365)=0,8159+0,9452-1=0,7611.
Como porcentagem, isso é 76,11\%.

Passo 9

Interpretação rápida e dica para a prova: a resposta significa que, escolhendo um alcoólatra ao acaso, há cerca de 76\% de chance de seu consumo diário estar entre 240 e 365 ml. No exame, faça sempre a padronização \frac{x-\mu}{\sigma}, calcule os z-scores e use a tabela \Phi. Se faltar tabela, lembre que \Phi(0)=0,5 e use simetria para valores negativos.

Resposta

0,7611 (ou 76,11\%)

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