Suponha que f(x) é contínua e diferenciável em [6,15]. Além disso, suponha também que f(6)=-2 e f^{\prime}(x) \leq 10. Qual o maior valor possível para f(15) ?

Passo 1

O enunciado diz que f é contínua e diferenciável em [6,15], com f(6)=-2 e que para todo x nesse intervalo vale
f'(x)\le 10.
O que precisamos é usar o Teorema de Lagrange (ou MVT) para relacionar o incremento de f ao valor da sua derivada.

Passo 2

Pelo Teorema de Lagrange, existe c\in(6,15) tal que
f(15)-f(6)=f'\text{(c)}\bigl(15-6\bigr).
Como sabemos que f'\text{(c)}\le 10, obtemos
f(15)-(-2)=f(15)+2 \le 10\cdot(15-6)=10\cdot9=90.

Passo 3

Isolando f(15) na desigualdade anterior, vem
f(15)\le 90-2=88.

Resposta

O maior valor possível para f(15) é 88.

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