Para cada uma das seguintes funções, encontre a reta tangente e a reta normal nos pontos indicados.
(c) f(x)=\tan (x) em x=\pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para achar, em x_0=\pi/4, a reta tangente e a reta normal à curva de
f(x)=\tan(x).
O conteúdo envolve derivada de funções trigonométricas e as fórmulas das retas tangente e normal em um ponto.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f(x)=\tan(x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(x)\bigr)=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 3

Avaliamo-la em x_0=\pi/4:
f'(\pi/4)=\operatorname{sec}^2\!\bigl(\pi/4\bigr) =\Bigl(\frac{1}{\cos(\pi/4)}\Bigr)^2 =\Bigl(\frac{1}{\tfrac{\sqrt2}{2}}\Bigr)^2 =2.
Logo, a inclinação da reta tangente é m_{\text{tan}}=2. O ponto na curva é
\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)=\Bigl(\frac{\pi}{4},\tan(\pi/4)\Bigr) =\Bigl(\frac{\pi}{4},1\Bigr).

Passo 4

A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y-1=2\Bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\Bigr).
Colocando em forma explicita,
y=2x-\frac{\pi}{2}+1.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tan}}} =-\frac{1}{2}.

Passo 6

Usando o mesmo ponto \bigl(\tfrac{\pi}{4},1\bigr), escrevemos
y-1=-\frac12\Bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\Bigr).
Em forma explicita,
y=-\frac12\,x+\frac{\pi}{8}+1 =-\frac12\,x+\frac{\pi+8}{8}.

Resposta

Reta tangente: y=2x+1-\tfrac{\pi}{2}.
Reta normal: y=-\tfrac{1}{2}\,x+\tfrac{\pi+8}{8}.

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